第十届中环杯四年级初赛试题详解
杭州奥数网9月14日：第十届中环杯四年级初赛试题详解
1、20092009×201020102010—20102010×200920092009=（ 0 ）
【点评】题型：速算巧算；考点：重复数码数；此题非常典型，在学而思长期班及短期班的讲义中曾经反复出现，可以说只要是长期班的学员应该都会对这种题型了如指掌。而更加值得一提的是这道题就是青少年科技报增期中《四年级模拟练习题（二）》的原题。青少年科技报作为中环杯考试“风向标”的作用可见一斑。
【详解】=2009×10001×2010×100010001—2010×10001×2009×100010001=0
2、用 0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是（510234）。
【点评】：题型：加乘原理；考点：正确分类与分步。四年级秋季班第二讲《乘法原理》、第三讲《加法原理》、第四讲《加乘原理》，整整三次课都在研究关于加乘原理的问题，正是因为这个知识点是四年级杯赛的必考点也是难点和重点。
【详解】：把这些数按照从小到大排列。当最高位是1时，共有5×4×3×2×1=120个；当最高位是2、3、4的时候都各有120个，所以共有120×4=480个。505—480=25个。剩下的25个都是最高为5的数，当十万位上是5，万位是0的时候，其他数位共有4×3×2×1=24个。所以第505个是510234。
3、有编号 1~30的30枚硬币正面朝上放在桌子上，先将编号为3的倍数的硬币翻个身，再将编号为4的倍数的硬币翻个身，最后仍有（ ）个硬币正面朝上。
【点评】题型：数论；考点：貌似普通的充斥原理，但其中暗藏玄机，因为还有考虑的奇偶性的问题。在考前不久的四年级长期班我们学习了《整除》，当中的一道例题和这道考题及其相似，就是求1~300所有正整数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？这是这道题需要考虑的问题多了一个。
【详解】：第一次翻动时，所有编号为3的倍数的硬币被翻成正面朝下，共有30÷3=10个；第二次翻动时，所有编号为4的倍数的硬币被翻了一次，共有30÷4=7……2；但是两次翻动使得3和4的公倍数，被翻动了两次，状态恢复到最初。这样的数有30÷12=4……6。所以最后正面朝下的有10+7—2×2=13个。正面朝上的就是30—13=17个。
4、有两列火车，甲车长 200米，每秒行13米；乙车长150米，每秒行8米。现在两车在两条互相平行的轨道上同向而行，甲在后，乙在前。路当中有一条隧道，其长度和甲车长度相同。当乙车车尾刚离开隧道时，甲车车头刚进入隧道。则（ 70 ）秒后，两车车头平行。
【点评】题型：行程问题之火车过桥——两车追及。考点：追及问题要找路程差和速度差，通常路程差就是两车的车长之和（从快车车头与慢车车尾对齐，到快车车尾与慢车车头对齐）。这道题目的特别之处在于路程差的变化。
【详解】：两车间的路程差是一个隧道长度，加上一个慢车车长，所以速度差为200+150=350，时间为：350÷（13—8）=70秒
5、小池塘中有 6片荷叶，如图所示，一只青蛙在荷叶A上，想要跳到荷叶F上，可以通过B\C\D\E任意一片或两片跳到荷叶F上，也可以直接跳到荷叶F上，但跳过的荷叶不能再跳。它一共有（ 17 ）种不同的跳法。
【点评】：题型：加乘原理；考点：正确分类和分步。又是一道加乘原理的题目，看来我们的长期班所学习的专题和杯赛考点重合度是很高的。
【详解】：根据题意，分成三类情况：
1、中间只通过一片荷叶，有4种情况；
2、中间通过两片荷叶，有4×3=12种情况；
3、直接跳到F上，有1中情况。
所以一共有4+12+1=17种情况。
6、71名选手参加大胃王比赛，比赛的内容是吃汉堡，最后吃得最多的选手吃了18个汉堡，吃得最少的选手吃了9个汉堡。问至少有（ 8 ）名选手吃的汉堡的数量是相同的。
【点评】：题型：抽屉原理；考点：能否正确构造抽屉是决定题目正确与否的关键。在四年级寒假班上，第一讲就是抽屉原理，第一次接触的时候同学都觉得这个知识点有难度，不好理解，但经过长期班和中环杯初赛短期班的专题训练，同学对于这类问题应该有比较深入理解。
【详解】：构造抽屉，最多吃18个，最少吃9个，那么所有吃的情况就共有18—9+1=10种，相当于10个抽屉。而71名选手就相当于71个苹果，71÷10=7……1，7+1=8，至少有8名选手吃的汉堡的数量是相同的。
7、 一套数学分上下两册，编页码时共用了2010个数码。又知上册比下册多28页，那么上册有（ ）页。
【点评】：题型：页码问题；考点：页码问题结合和差问题。页码问题一向是小机灵杯和中环杯的易考点，在长期班及考前短期班的学习中反复强调。并且所作题目与考试原题十分接近，如E度家长社区里的四年级专区《杯赛必备宝典-中环杯、小机灵杯专贴》里老师就曾经总结了这个类型的题目。只是数据不一样，答题方法完全相同。所以关注奥数网，对于把握考点是非常有帮助的！
【详解】：第1页~第9页，共用掉1×9=9个数码；
第10页~第99页，共用掉2×90=180个页码；
那么两本书的1~99页共用掉189×2=378个页码，
剩下的页码只能凑出三位数，而不够凑四位数，说明两本书的总页数是三位数。
所以上册比下册多28页，就多了28×3=84个页码，根据和差问题，求大数：
（2010+84）÷2=1047个页码，这些页码除了组成了一位数和两位数，
还组成了（1047-189）÷3=286个三位数，所以一共有286+99=385页。
8、甲、乙两人分别从A,B 两地同时出发，相向而行。如果两人都按照原定速度行进，3 小时可以相遇。现在甲比原计划每小时少走 1千米，乙比原计划每小时少走 0.5千米，结果两人用了4小时相遇。 AB两地相距（ ）千米。
【点评】：题型：行程问题——相遇；考点：弄清路程时间与速度之间的关系。行程问题中相遇和追及都是最基本的题型，也是四年级的必考点，我们的长期班和短期班讲义中都曾经反复强调。
【详解】：两人速度变慢以后，3小时少走了3×（1+0.5）=4.5千米；此时的速度和4.5÷（4—3）=4.5千米/时，那么原来的速度和为4.5+1+0.5=6，路成为6×3=18千米。
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