第十届中环杯三年级初赛试题详解

杭州奥数网 2012-07-23 14:03:12

杭州奥数网9月14日：第十届中环杯三年级初赛试题详解

一、填空题

1.2009+2005+2001+……+1-2007-2003-1999-……-3=

【分析】主要考察：速算与巧算的巧妙分组；
等差数列的求项数公式。项数=(末项-首项) ÷公差+1
原式=（2009-2007）+（2005-2003）+（2001-1999）+……（5-3）+1
     =2×1004÷2+1     其中1004=（2009-3）÷2+1
     =1004+1
     =1005

2.小张很喜欢看《喜羊羊和灰太狼》，于是他决定去买些喜羊羊和灰太狼的玩具。他买回来很多各种造型的喜羊羊和灰太狼。喜羊羊的个数和灰太狼的个数的平均数为12，其中喜羊羊比灰太狼多4个。小张买了( )个喜羊羊，( )个灰太狼。

【分析】主要考察：平均数的计算公式，总和=平均数×总份数；
和差问题计算公式，较大数=（和+差）÷2；较小数=（和-差）÷2
由原题得：喜洋洋和灰太狼的总个数是12×2=24（个）
喜洋洋的个数：（24+4）÷2=14（个）
灰太狼的个数:14-4=10(个)

3.小明和爸爸妈妈去公园游玩，发现草坪上有很多大人和小孩，并且每个小孩都骑在大人身上。小明数了一下，地上一共有16只脚，但是他可以看到12张笑脸。草坪上大人有( )个，小孩( )个。

【分析】主要考察：审题认真。
由原题得：大人的个数：16÷2=8（个）
小孩的个数：12-8=4（个）

4.小亚和小巧各拿出同样多的钱一起去买了若干支同样价钱的铅笔，正好将钱用完。在分笔时，小亚比小巧少拿8支，作为补偿，小巧又给了小亚20元。这种笔每只( )元。

【分析】考点：移多补少
两人拿了同样多的钱，那就应该分到一样多的笔。
结果小亚比小巧少拿8支，即差了8支。利用移多补少，移“1”差“2”的思想说明移了4支给20元所以一支 20÷4=5（元）

5.班主任老师拿了7玩具走进教室，每种玩具都有足够的数量。现在他让学生们自己选玩具，规定：（1）每人必须选两个玩具，不能少选或多选。（2）每人必须选两种不同的玩具。则班内至少有( )个学生才能保证有两个或两个以上的学生选到相同的两种玩具。

【分析】考点：抽屉原理
本题学生是苹果，不同的分法是抽屉。
由于每人选两个且不同的类似于数线段
共有6+5+4+3+2+1=21（种）
由抽屉原理一知：至少22名同学才能保证有两个或者两个以上拿到相同的两种玩具。

6.三年级四个班报名参加中环杯比赛的学生中，有74人不是一班的，92人不是四班的，二班和三班一共46人报名。参加比赛的三年级学生一共有( )人。

【分析】考点：等量代换
三年级一共四个班我们分别用一二三四来表示
由题意知：二+三+四=74
（1）
一+二+三=92
（2）
二+三=46
（3）
将（3）带入（2）得一=92-46=46（人）
将（3）带入（1）得四=74-46=28（人）
所以一+二+三+四=46+46+28=120（人）

7.有一条圆形跑道长600米，小明和小林在同一地点同时出发，沿跑道背向而行。小明每分钟前行90米，小林每分钟前行60米。经过20分钟后，两人相遇了( )次。

【分析】考点：行程问题
本题考察的是环形型行程问题之相遇
“背向”找速度和90+60=150（米/分）
路程=速度×时间 150×20=3000（米）
相遇次数=3000÷600=5（次）

8.电影院中某一排有22个座位，其中一些座位已经有人就座了。若新来一个人，无论他坐在何处，都有一个人和他相邻，那么原来至少有（）个人就座。

【分析】×置，要保证新来一个人无论坐哪，都有人相邻，有两种情况“有空有”和“空有空”（“有”表示有人坐的位置，“空”表示空位）要保证有的人最少，显然是第二种情况，原来有的只有一个，那我们试着将比较多的数这样列下去“空有空空有空空有空空有空……”我们发现这样的情况下“有”出现得最少，它是以“空有空”为周期循环排列的。那么就变成了一个周期问题。22个座位时，最少有几个座位是有呢？用22÷3=7（组）…1（个）余下的一个是“空”，前面7组有7个“有”，余下的一个“空”在8组的第一个，第七组的最后一个也是“空”，两个空在一起不能保证，坐进来的有人相邻，所以最后一个空位上应该坐人。所以最少坐7+1=8(个)

9.下图是由相同的四个长10厘米，宽6厘米的长方形部分重叠组成，后一个长方形的顶点恰好位于前一个长方形的中心，这个图形的周长是( )厘米。

【分析】此题属于典型的“巧求周长”问题，将该图形用平移法将外围线段进行平移后，便得到一个长为10+3×5=25（厘米），宽为6+3×3=15（厘米）的长方形。最后便可求出该图形的周长为：（25+15）×2=80（厘米）

10.如果两支钢笔能换3支圆珠笔，4支圆珠笔能换5支铅笔，那么16支钢笔能换( )铅笔。

【分析】此题属于典型的“等量代换”问题，根据题目可知①式：2钢=3圆，②式：4圆=5铅，求16钢=？铅
   根据所求的16钢与①式中2钢之间的倍数关系可得③式：16钢=24圆。
   根据③式中24圆与②式中4圆之间的倍数关系可得④式：24圆=30铅。
   从而求出16钢=30铅。

二、动手动脑题

1.下面一组图形是按一定规律排列的：○○○○△△△□□○○○○△△△□□○○○○△△△□□……问：（1）第205个图形是什么？（2）前205个图形中，○有几个？△有几个？□有几个？

【分析】此题属于典型的“周期性问题”。根据题目可知每9个图形为一个周期：
（1）205÷9=22（组）……7（个）
第205个图形是每组的第7个：三角形
（2）22×4+4=92（个）
在前205个图形中共有92个圆形；
22×3+3=69（个）
在前205个图形中共有69个三角形；
22×2=44（个）
在前205个图形中共有44个正方形。

2.一圈小朋友玩报数拍手游戏，从1开始报起，凡是报到7的倍数时，要拍一次手，报到带7的数（比如17，71）时，要拍两次手，报到既是7的倍数又带7的数时，要拍4次手。那么他报到100时，共拍了几次手？

方法一：我们将数字按题目要求分为三类：1.7的倍数；2.带7的数；3.既是7的倍数又带有7的数。分别找到他们所拍的次数，再减去重复拍的次数，第1和第2类里包含第3类的数。
①7的倍数：100÷7=14……2
共拍14×1=14(次)
②带7的数：从7，17，27，37……97 （7在个位）共10个
从71，72，73……79（7在十位）共9个，共拍：（10+9）×2=38（次）
③既是7的倍数又带有7的数：7、70、77这三个数，这三个数在前面两类里都各算进了一次。所以还需拍次数（4-2-1）×3=3（次）
④一共拍次数 3+14+38=55（次）

方法二：把数分为三类，只是7的倍数而不包含数字7的数，和只包含数字7的数和不包含7的倍数的数，还有一类是既是7的倍数又是包含7的数，这样就没有重复。
(14-3) ×1+(19-3) ×2+3×4=55（次）
答：报到100时共拍了55次。

3.甲乙丙丁四人约定上午10时在公园门口集合。人到齐后，甲说：“我提前了6分钟，乙正点到的。”乙说：“我提前了7分钟，丙比我晚3分钟。”丙说：“我提前了4分钟，丁提前了2分钟。”丁说：“我还以为我迟到了1分钟呢，其实我到达两分钟后才听到收音机里十时整的报时声。”请根据以上谈话，分析谁的表最快，快多少分钟？