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小学数学故事:探寻之旅(二)

网络资源 2018-11-10 11:22:46

小学数学故事:探寻之旅(二)

  那些手扛肩挑的年代

  手算笔录的时代,每前进一步,都显得格外艰难。1772年,在卡塔尔迪提出近200年之后,瑞士数学家欧拉证明了M31确实是一个素数,这是人们找到的第8个梅森素数,它共有10位数,堪称当时世界上已知的最大素数,欧拉也因此成为第二个在发现者名单上留名的人。让人惊叹的是,这是在他双目失明的情况下,靠心算完成的。这种超人般的毅力与技巧让欧拉获得了“数学英雄”的美誉。法国大数学家拉普拉斯(P.Laplace)说的话,或许可以代表我们的心声:“读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”

  100年后,法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理,这为梅森素数的研究提供了有力的工具。1883年,数学家波佛辛(Pervushin)利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数–这是梅森漏掉了的。梅森还漏掉另外两个素数:M89和M107,它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯(Powers)发现。

  还记得梅森预测的四个素数吗?其中M31已经为欧拉证明,M127则在鲁卡斯提出定理时顺带证明,虽然中间漏掉了3个,但至少还有另外两个:M67和M257是不是素数呢……

  M67的证明又是一个精彩的故事。

  1903年,数学家柯尔在美国数学学会的大会上作了一个报告。他先是专注地在黑板上算出267-1,接着又算出193707721×761838257287,两个算式结果完全相同!换句话说,他成功地把267-1分解为两个素数相乘的形式,从而证明了M67是个合数。

  报告中,他一言未发,却赢得了现场听众的起立鼓掌,更成了数学史上的佳话。阅读这段历史,我们懂得了什么叫做“事实胜于雄辩”。记者好奇地问他是怎样得到这么精彩的发现的,柯尔回答“三年里的全部星期天”。他后来当选为美国数学协会的会长,去世后,该协会专门设立了“柯尔奖”,用于奖励作出杰出贡献的数学家。

  1922年,数学家克莱契克验证了M257并不是素数,而是合数(但他没有给出这一合数的因子,直到20世纪80年代人们才知道它有3个素因子)。

  于是乎,梅森的四个猜测获得了两正确、三遗漏和两错误的成绩,但这无损于他的光荣。在千年的探寻之旅中,伟大如欧拉也会犯错误,他在1750年宣布说找到了梅森的“遗漏”:M41和M47也是素数,但最终上M41和M47都不是素数。

  直到1947年,对于p≤257的梅森素数Mp的正确结果才被确定,也就是当p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107和127时,Mp是素数。现在这个表已经被反复验证,一定不会有错误了。

  我们看到,在手工计算的时代,人们一共找到了12个梅森素数。

  计算机!计算机!

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