大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。

　　因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。

　　从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：

　　（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。

　　（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。

　　综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。

　　2.    一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？

　　分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。

　　1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，…

　　这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：

　　奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……

　　容易看出，这串数是按"奇，奇，偶"每三个数为一组周期变化的。 1000÷3=333……1，这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。

　　三、拓展提升

　　1.在11，111，1111，11111，…这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？

　　2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，…，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？

　　3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

　　4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？

　　5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他："今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？"小明说："除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。"今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？

　　6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？

　　答案

　　1.对。提示：因为平方数能被4整除或除以4余1，而形如111…11的数除以4的余数与11除以4的余数相同，余3，所以不是平方数。

　　2.5个。提示：与例4类似分析可知，先排9个奇数页的故事，其中有5个从奇数页开始，再排8个偶数页的故事，都是从偶数页码开始。

　　3.3次。提示：见下表。

　　4.偶数。

　　提示：这行数的前面若干个数是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，…

　　这些数的奇偶状况是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，……

　　从前到后按一偶二奇的顺序循环出现。70÷3=23……1，第70个数是第24组数的第一个数，是偶数。

　　5.偶数。

　　提示：号码总和等于100加上小明号码的2倍。

　　6.不能。

　　提示：如果原来写的是1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数。

　　（十三） 周期性问题

　　在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。

　　在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。

　　一、例题与方法指导

　　例1.    某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____.

　　思路导航：

　　因为7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了

　　31+30+31+1=93(天).

　　因为93 7=13…2，所以这年6月1日是星期二.

　　例2.    1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_____.

　　思路导航：

　　依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有

　　365 10+2=3652（天）

　　因为（3652+1） 7=521…6，所以再过十年的12月5日是星期日.

　　[注]上述两题(题1-题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据"四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰"的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.

　　例3.    按下面摆法摆80个三角形,有_____个白色的.

　　……

　　思路导航：

　　从图中可以看出,三角形按"二黑二白一黑一白"的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形.

　　因为80 6=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13 3=39（个）.

　　例4.    节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,小明想第73盏灯是_____灯.

　　思路导航：

　　依题意知,电灯的安装排列如下:

　　白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按"白，红，黄，绿"交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.

　　由73 4=18…1,可知第73盏灯是白灯.

　　例5.     时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是_____.

　　思路导航：

　　分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时,1991 24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.

　　[注]在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.

　　二、巩固训练

　　1. 把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数"1992"在_____列.

　　第一列    第二列    第三列    第四列    第五列

　　1    2    3    4    5

　　9    8    7    6

　　10    11    12    13    14

　　18    17    16    15

　　…    …    …    …    …

　　…    …    …    …

　　2. 把分数 化成小数后，小数点第110位上的数字是_____.

　　3. 循环小数 与 .这两个循环小数在小数点后第_____位,首次同时出现在该位中的数字都是7.

　　4. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,

　　……共有1991个数.

　　(1)其中共有_____个1,_____个9_____个4；

　　(2)这些数字的总和是_____.