例4 从1开始，每隔两个数写出一个数，得到一列数，求这列数的第100个数是多少?

　　1，4，7，10，13，…

　　解：不难看出，这是一个等差数列，它的后一项都比相邻的前一项大3，即公差=3，还可以发现：

　　第2项等于第1项加1个公差即

4=1+1×3.

　　第3项等于第1项加2个公差即

7=1+2×3.

　　第4项等于第1项加3个公差即

10=1+3×3.

　　第5项等于第1项加4个公差即

13=1+4×3.

　　…

　　可见第n项等于第1项加(n-1)个公差，即

　　按这个规律，可求出：

　　第100项=1+(100-1)×3=1+99×3=298.

　　例5 画图游戏先画第一代，一个△，再画第二代，在△下面画出两条线段，在一条线段的末端又画一个△，在另一条的末端画一个○;画第三代，在第二代的△下面又画出两条线段，一条末端画△，另一条末端画○;而在第二代的○的下面画一条线，线的末端再画一个△;…一直照此画下去(见下图)，问第十次的△和○共有多少个?

　　解：按着画图规则继续画出几代，以便于观察，以期从中找出图形的生成规律，见下图.

　　数一数，各代的图形(包括△和○)的个数列成下表：

　　可以发现各代图形个数组成一个数列，这个数列的生成规律是，从第三项起每一项都是前面两项之和.按此规律接着把数列写下去，可得出第十代的△和○共有89个(见下表)：

　　这就是著名的裴波那契数列.裴波那契是意大利的数学家，他生活在距今大约七百多年以前的时代.

　　例6 如下图所示，5个大小不等的中心有孔的圆盘，按大的在下、小的在上的次序套在木桩上构成了一座圆盘塔.现在要把这座圆盘塔移到另一个木桩上.规定移动时要遵守一个条件，每搬一次只许拿一个圆盘而且任何时候大圆盘都不能压住小圆盘.假如还有第三个木桩可作临时存放圆盘之用.问把这5个圆盘全部移到另一个木桩上至少需要搬动多少次?(下图所示)

　　解：先从最简单情形试起.

　　①当仅有一个圆盘时，显然只需搬动一次(见下页图).

　　②当有两个圆盘时，只需搬动3次(见下图).

　　③当有三个圆盘时，需要搬动7次(见下页图).

　　总结，找规律：

　　①当仅有一个圆盘时，只需搬1次.

　　②当有两个圆盘，上面的小圆盘先要搬到临时桩上，等大圆盘搬到中间桩后，小圆盘还得再搬回来到大圆盘上.所以小的要搬两次，下面的大盘要搬1次.这样搬到两个圆盘需3次.

　　③当有三个圆盘时，必须先要把上面的两个小的圆盘搬到临时桩上，见上图中的(1)～(3).由前面可知，这需要搬动3次.然后把最下层的最大圆盘搬一次到中间桩上，见图(4)，之后再把上面的两个搬到中间桩上，这又需搬3次，见图中(5)～(7).

　　所以共搬动2×3+1=7次.

　　④推论，当有4个圆盘时，就需要先把上面的3个圆盘搬到临时桩上，需要7次，然后把下面的大圆盘搬到中间桩上(1次)，之后再把临时桩上的3个圆盘搬到中间桩上，这又需要7次，所以共需搬动2×7+1=15次.

　　⑤可见当有5个圆盘时，要把它按规定搬到中间桩上去共需要：

2×15+1=31次.

　　这样也可以写出一个一般的公式(叫递推公式)

　　对于有更多圆盘的情况可由这个公式算出来.

　　进一步进行考察，并联想到另一个数列：

　　若把n个圆盘搬动的次数写成an，把两个表对照后，

　　可得出

　　有了这个公式后直接把圆盘数代入计算就行了，不必再像前一个公式那样进行递推了.

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