数学家看问题，总想找规律.我们学数学，也要向他们学习.找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示，大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证，最后还需要证明（在小学阶段不要求同学们进行证明）.

　　例1 沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线段.这两个点就叫线段的端点，如图8—1—1所示.不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分.如果一条直线上标出11个点，如图8—1—2所示，任何两点间的部分都是一条线段，问共有多少条线段.

　　解：先从简单的情况着手.

　　（1）画一画，数一数：（见图8—1—3）

　　（2）试着分析：

　　2个点，线段条数：1=1

　　3个点，线段条数：3=2+1

　　4个点，线段条数：6=3+2+1

　　5个点，线段条数：10=4+3+2+1

　　（3）大胆猜想：一条直线上有若干点时线段的条数总是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1.

　　（4）进行验证：对于更多点的情况，对猜想进行验证，看猜想是否正确，如果正确，就增加了对猜想的信心.如：

　　6个点时：对不对？

　　——对.见图 8—1—4.

　　线段条数：5+4+3+2+1=15（条）.

　　（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.

　　当直线上有11个点时，线段的条数应是：

　　10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）.

　　例2 如图8—2中（1）～（5）所示两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少交点？

　　解：从简单情况着手研究：

　　（1）画一画、数一数

　　图8-2

　　（2）试着分析：

　　直线条数 最多交点数

　　1 0

　　2 1=1

　　3 3=2+1

　　4 6=3+2+1

　　5 10=4+3+2+1

　　（3）大胆猜想：若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1.

　　（4）进行验证：见图8—3.取6条直线相交，画一画，数一数，看一看最多交点个数与猜想的是否一致，若相符，则更增强了对猜想的信心.

　　用猜想的算法进行计算：最多交点数应是

　　5+4+3+2+1=15（个）.

　　（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当有11条直线相交时，最多的交点数应是：

　　10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）.

　　例3 如图8—4所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……问切10刀最多切成多少块？

　　解：从最简单情况着手研究.

　　（1）画一画、数一数

　　（2）试着分析：

　　所切刀数 切出的块数

　　0 1

　　1 2=1+1

　　2 4=1+1+2

　　3 7=1+1+2+3

　　4 11=1+1+2+3+4

　　（3）大胆猜想：把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数等于从1开始的一串自然数相加之和加1.其中最大的自然数等于切的刀数.

　　（4）进行验证：见图8—5对大饼切5刀的情况用两种方法求解，看结果是否一致，若一致则更增强了对猜想的信心.

　　①数一数：16块.

　　②算一算：1+1+2+3+4+5=16（块）.

　　（5）应用规律：把大饼切10刀时，最多切成的块数是：

　　1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

　　=1+55

　　=56（块）.