1.  7

　　因为除以3余数是1的数是

　　1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…

　　除以4余数是3的数是3,7,11,15,19,23,27,31…

　　所以，同时符合除以3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，…这些数除以12余数均为7.

　　2.  14

　　用一个两位数除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56, 73-3=70,85-1=84能被这个两位数整除,这个两位数一定是56、70和84的公约数.

　　2      56   70   84

　　7  28   35   42

　　4    5    6

　　由可可见,56、70、84的两位数公约数是2 7=14，可见这个两位数是14.

　　3.  41

　　根据题意得

　　319-261=练习本单价 第二、一组人数之差，

　　348-319=练习本单价 第四、二组人数之差.即

　　练习本单价 第二、一组人数之差=58,

　　练习本单价 第四、二组人数之差=29，

　　所以,练习本单价是58与29的公约数,这样,练习本的单价是29分,即0.29元.

　　因此,全班人数是

　　(2.61 2+3.19+3.48) 0.29

　　=11.89 0.29

　　=41(人)

　　[注]这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件,将小数化成整数来考虑,为解决问题提供了方便.这里也可直接找261、319和348的公约数，但比较困难.上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示.

　　4.  91

　　如果将两个班的人数减少1人,则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余,所以两班人数减1是9和10的公倍数,又要求这两班至少有几人,可以求出9和10的最小公倍数,然后再加上1.所以,这两个班最少有

　　9 10+1=91(人)

　　5.  210

　　一个数能被3,5,7整除,这个数一定是3,5,7的公倍数.3,5,7的公倍数依次为:105,210,315,420,……，其中被11除余数为1的最小数是210，所以这个最小数是210.

　　6.  46人.

　　如果总人数少6人,则每排8人和每排10人,均恰好排完无剩余.由此可见,人数比10和8的最小公倍数多6人,10和8的最小公倍数是40,所以参加队列训练的学生至少有46人.

　　7.  71

　　依题意知,这堆苹果总个数,添进1个苹果后,正好是9,8,4的倍数.因为9,8,4的最小公倍数是9 8=72,所以这堆苹果至少有9 8-1=71(个).

　　[注]本题为什么求9,8,4的最小公倍数呢?这是根据限制条件"这堆苹果共几十个"决定的.若限制条件改为"这堆苹果的个数在100-200之间"的话，那么这堆苹果共有9 8 2-1=141（个）.因此，在解答问题时，一定要把条件看清楚，尤其要注意"隐含条件"的应用.

　　8.  148

　　从6和7的公倍数42,84,126,……中找到除以5余3的数是378（可以先找到除以5余1的数126，再乘以3即可）.

　　从5和7的公倍数35,70,……中找到除以6余4的数是70.

　　从5和6的公倍数30,60,90，120，……中找到除以7余1的数是120.

　　5,6,7的最小公倍数是5 6 7=210.

　　所以,这筐苹果至少有

　　568-210 2=148个.

　　9.  172

　　因为除以3余1,除以5余2的最小数是22,而3和5的最小公倍数是15,所以符合条件的数可以是22,37,52,67,…….又因为67 7=9…4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，….

　　所以,符合条件的最小三位数是172.

　　10.  301

　　先求出2,3,4,5的最小公倍数是60,然后用试验法求出60的倍数加1能被7整除的数

　　60+1=61

　　60 2+1=121

　　60 3+1=181

　　60 4+1=241

　　60 5+1=301

　　其中301能被7整除.所以筐内原来有301个鸡蛋.

　　11.  如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.

　　2      8   10   12

　　2   4    5    6

　　2    5    3

　　故8,10,12的最小公倍数是2 2 2 5 3=120.所以这盒乒乓球有123个.

　　12.  设所求数为 ,则 +2就能同时被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以 =120-2=118

　　13.  设有 个围棋子,则 +1是3,5,7的倍数,  +1是[3,5,7]=3 5 7=105的倍数,  +1=210,  =209.

　　14.  无解,若该数存在必为8+18 ( 为整数),它被6除只能余2,矛盾.