数论之整数拆分练习12

　　从不知道到知道

　　有两个非常好的逻辑学家朋友P和S。他们在猜两个整数x、y.。已知1<x<y<99且x+y<100。P知道x与y的乘积，S知道x与y的和。

　　P说：我不知道这两个数。

　　S说：我知道你不知道。

　　P说：我知道了这两个数。

　　S说：我也知道了。

　　根据两人的对话，你能判断x与y到底是多少吗？

　　这是一道更加经典同时难度更大的趣味数学题，是精品中的精品。我们就来慢慢分析整个思维过程吧。

　　首先，两个乘数因子不能是两个不同素数的乘积，不然P就一定能知道两个数是多少。

　　我们先列出100以内所有的素数，2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31,   37,   41,   43,   47,   53,   59,   61,   67,   71,    73,   79,   83,   89,   97。

　　我们可以用一个数表列出所有两个素数的和，凡是在表中出现的和都不该是两人要猜测的数的和。

　　于是，我们100以内还剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

　　34×17可以直接导出两数之和51、38×19 可以直接导出两数之和57，29×58可以直接导出两数之和87，31×62可以直接导出两数之和93，因此51、57、87、93可以排除。

　　由于53×6=106×2会导致两数之和超过100，因此数59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

　　剩下的和数的数列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

　　我们继续进行。

　　此数是11吗？

　　因为24=3×8、28=4×7，S知道和为11，却无法断定出P。

　　此数是23吗？

　　76=4×19,112=16×7, S知道和为23，却无法断定出P。

　　同样，可以排除29、35、37、41、47、51和53这些数字和。

　　现在轮到17了。

　　S=17=2+15，P=2×15=5×6，导出S=11，11在可能的和数之列，被排除。

　　S=17=6+11，P=6×11=2×33，导出S=35，35在可能的和数之列，被排除。

　　S=17=7+10，P=7×10=2×35，导出S=37，37在可能的和数之列，被排除。

　　S=17=8+9，P=8×9=3×24，导出S=27，27在可能的和数之列，被排除。

　　现在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，导出S=28，不在上述的和数之列。

　　答案露出水面，这两个数是4和13。

　　简单的描述后面，是严谨的逻辑和繁琐筛选过程。出题者一定是真正的数学大师。然而，这道题到底源自何人，我不得而知。