数论之整数拆分练习9

　　一、只有1

　　一道简单的问题是：用1、＋、×、（）的运算来分别表示23和27，哪个数用的1较少？要表达2008，最少要用多少个1？

　　我们先给出从1到15的表达式。

　　1=1,

　　2=1+1,

　　3=1+1+1,

　　4=(1+1)×(1+1)，

　　5=(1+1)×(1+1)+1,

　　6=(1+1)×(1+1+1),

　　7=(1+1)×(1+1+1)+1,

　　8=(1+1)×(1+1)×(1+1),

　　9=(1+1+1)×(1+1+1),

　　10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),

　　11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,

　　12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),

　　13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,

　　14=  (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),

　　15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。

　　把用1的个数写成数列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。

　　对于23，

　　23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，

　　1的个数为11。

　　对于27，

　　27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)

　　1的个数为9。

　　对于2008这样的大数，要寻找表达式很困难。

　　我找到的表达式是

　　(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008

　　一共用了24个1，但是不是用了最少的1，证明起来有一定难度。