关于分解质因数的例题讲析

　　通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。

　　分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。

　　*例1  ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度）

　　解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。

　　1673=239×7

　　答：ABC代表239。

　　例2 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度）

　　解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。

　　2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3

　　=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）

　　=48×48

　　正方形的边长是48米。

　　这块田地的周长是：

　　48×4=192（米）

　　答略。

　　*例3 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）

　　解：3250-10=3240（个）

　　把3240分解质因数：

　　3240=23×34×5

　　接近40的数有36、37、38、39

　　这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。

　　23×34×5÷（22×32）

　　=2×32×5

　　=90

　　答：这个幼儿园有90名小朋友。

　　*例4 105的约数共有几个？（适于六年级程度）

　　解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。

　　因为，105=3×5×7，

　　所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；

　　含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；

　　含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。

　　所以，105的约数共有4+3+1=8个。

　　答略。

　　*例5 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度）

　　解：将这九个数分别分解质因数：

　　15=3×5

　　22=2×11

　　30=2×3×5

　　35=5×7

　　39=3×13

　　44=2×2×11

　　52=2×2×13

　　77=7×11

　　91=7×13

　　观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。

　　由以上观察分析可得这三组数分别是：

　　15、52和77；

　　22、30和91；

　　35、39和44。

　　答略。

　　*例6 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）

　　解：把5040分解质因数：

　　5040=2×2×2×2×3×3×5×7

　　由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：

　　7，2×2×2，3×3，2×5

　　即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。

　　答略。

　　*例7 在等式35×（    ）×81×27=7×18×（    ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）

　　解：将已知等式的两边分解质因数，得：

　　5×37×7×（    ）=22×36×7×（    ）

　　把上面的等式化简，得：

　　15×（    ）=4×（    ）

　　所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。

　　15×（4）=4×（15）

　　答略。

　　*例8 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）

　　解：把84分解质因数：

　　84=2×2×3×7

　　除了1和84外，84的约数有：

　　2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的 约数进行分组。 84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。

　　因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。

　　答略。

　　*例9 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度）

　　解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。

　　14=2×7        143=11×13

　　30=2×3×5    169=13×13

　　33=3×11       4445=5×7×127

　　75=3×5×5    4953=3×13×127

　　在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。

　　在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。

　　按这个要求每一组四个数的积应是：

　　2×7×11×127×3×3×5×5×13×13

　　因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、 143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。

　　答略。

　　*例10 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度）

　　解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：

　　x（x+6）= 315

　　x（x+6）=3×3×5×7

　　=（3×5）×（3×7）

　　x（x+6）=15×21

　　x（x+6）=15×（15+6）

　　x=15

　　x+6=21

　　答：这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。

　　*例11 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度）

　　解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：

　　（x-1）×x×（x+1）

　　=210

　　=21×10

　　=3×7×2×5

　　=5×6×7

　　比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。

　　答：这三个连续自然数分别是5、6、7。

　　*例12 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）

　　解：把1440分解质因数：

　　1440= 12×12×10

　　=2×2×3×2×2×3×2×5

　　=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）

　　=8×9×20

　　如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则：

　　8×9=72，

　　20×3+12=72

　　正符合题中条件。

　　答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。

　　*例13 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘 积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）

　　解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：

　　33×1000+32×10=27090

　　把27090分解质因数：

　　27090=43×7×5×32×2

　　根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：

　　43×14×9×5

　　这个质因式中14就是9与5之和。

　　所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。

　　43-9=34（岁）

　　答：母亲在34岁时生下第二个儿子。