让数学课堂更有“思想”

　　【内容摘要】数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。因此，人们把它们称为数学思想方法。数学思想方法是数学知识的精髓，是数学知识迁移的基础和源泉，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁和纽带，学生只有领会了数学思想方法,才能有效地应用知识,形成能力，在数学教学中要注重渗透数学思想方法。

　　【关 键 词】数学思想   数学教学  渗透  层次性  阅读  迁移

　　“数学的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然学科和社会学科，成为现代文化的重要组成部分”。数学思想方法是数学知识的精髓，是数学知识迁移的基础和源泉，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁和纽带，是构建数学理论的基石，是数学素养的重要内容之一。众所周知，学生毕业后成为专业数学工作者的微乎其微，直接应用数学的人只占一小部分，绝大多数人在工作中不用数学。可以说，我们在生活、学习和工作中应用的不仅仅是数学知识，更多的是数学思想方法。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力。在我们解决问题、进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法。因此，在数学教学中要注重渗透数学思想方法。

　　数学思想方法是借助于数学知识、技能为载体而体现出来的，思想要融入内容和应用中，才成为思想，就思想方法讲思想方法，学生会感到枯燥无味，是不能真正掌握数学思想方法的。只有在教学中反复多次渗透，方能“随风潜入夜，润物细无声”，让学生在不知不觉中领会、掌握，才能自觉运用，形成能力。

　　一、渗透“方法”，了解“思想”。

　　知识是思想的“躯体”，思想是知识的“灵魂”。

　　《数学课程标准》中提出的目标是学生在学段末最终应达到的目标，而由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，对相应知识的理解是逐步深入的，不可能“一步到位”。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想方法教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视学生知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，逐级递进，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。

　　事实上，许多重要的数学思想方法，即使是对同一学段的学生而言，也不是一次可以学成的。教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想方法的应用，而且要激发学生学习数学思想方法的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在教学中，要认真把握好 “了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想抽象难懂，高深莫测，从而导致他们丧失信心。

　　二、训练“方法”，理解“思想”。

　　数学教学内容始终反映着数学基础知识和数学思想方法这两条线。数学教材的每一章内容，都体现着这两条线的有机结合。这是因为没有脱离数学知识的数学方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。而在数学课上，由于能力、心理发展的限制，学生往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的思想、观点，以及由此产生的解决问题的方法与策略。即使有所觉察，也是处于“朦朦胧陇”、“似有所悟”的境界。如学生学习用换元法解分式方程，对换元法的理解是按教师要求，设未知数，换元，解换元后的方程等解题步骤。学生把换元法当作解题步骤来记忆，而未能体会出换元思想是数学中的常用的思想方法。

　　因此教师在数学课堂教学时，必需对学生进行有意识的启发。如用字母表示数，这是中学生学好代数的关键一步，要跨越这一步是有一定的困难的。从算术到代数，思维方式上要产生一个飞跃，有一个从量变到质变的发展过程，学生始终认为“a是正数”，“两个数的和大于其中任何一个加数”等，对“字母表示数，它可以代表任何一个数，像已知数一样参加运算”很不习惯，往往只见树木，不见树林。我们应尽量帮助学生缩短这个“悟”的过程，在教学中多次渗透，不断强化，逐步完成学生从数到式，由普通语言到符号语言，由特殊到一般，由具体到抽象的飞跃。

　　又如，渗透化归思想。化归，是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法，转化的思想在数学教学中应贯穿始终。教材中，把有理数减法、除法转化为加法与乘法，把复杂的一元一次方程化为标准方程，把多元方程组化为一元一次方程，把高次方程化为低次方程，把分式方程化为整式方程，由无理方程化为有理方程，将复杂图形转化为简单图形，将未知化为已知，等等，都体现了化归的思想方法。在教学中根据学生的认知结构，结合具体内容，探索转化方法，渗透转化思想，逐步养成学生迎难而上，化难为易的品质，这种品质的形成可以让学生受益终身。

　　再如，函数思想是一种对应思想，从初中到高中教材中不断地进行深化，学生的认知水平也在不断提高。教材从初一就开始不断渗透函数的思想观点和方法。如，当x=2时，求代数式3x+2的值，还可变为当x=2，3，4…时求代数式的值，让学生体会，随X的不断变化，代数式的值也随着变化。反过来，当代数式值 3x+2为零时，求x的值，就变成了方程；当x为哪些值时，代数式3x+2的值大于（小于）零，就变成了不等式。从而可用函数思想把这三者统一起来，经反复多次渗透，学生的理解水平不断提高。到了初三学生对用两变量之间的对应关系来定义函数，乃至到高中用两集合的映射来定义函数，已不再感到抽象陌生。

　　三、掌握“方法”，运用“思想”。

　　数学的思想方法蕴含在教材的内容中，只有吃透内容，才会领会基本思想，学会其中的方法。

　　很多学生只把课本当成习题集，很少看书，这就很难领会其思想。常言道：“书读百遍，其义自见”。只有读透内容，才能知其义，晓其理。通过阅读可培养学生的阅读、分析、思考问题的习惯，促使学生在实际情景和数学知识之间找到一个切入口，达到“此时无声胜有声”的效果，从而学会数学语言。通过使用数学语言进行听、说、读、写、译的活动，就可以流畅地用数学语言进行交流，促进学生会用数学思想方法去思考问题，解决问题。

　　如北师大版八年级下册的课题学习——《制作视力表》，引导学生阅读时，要求学生探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理外，还要求学生体验从数学的角度观察、分析现实生活中的某些现象，初步形成“用数学”的自觉意识。又如，“关于圆周率∏”，除了让学生体会我国古代数学家刘微、祖冲之在圆周率方面的伟大成就外，主要的是让学生在阅读中体会极限思想，同时也让学生明白，数学的创造与其它学科知识的创造类似，在得到一个正确结论之前，常常经历过猜想、实验、验证、归纳、总结等过程，是通过无数次失败而换得的成功。

　　总而言之，教师在进行教学时应站在学生的角度来优化教学过程，充分考虑学情，给学生以阅读、思考、交流的机会，适时让学生体悟数学思想方法，长期坚持下去必将会极大地唤起学生的主体意识，同时课堂也将充盈着春天般的生命力。

　　四、提炼“方法”，完善“思想”。

　　教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此，教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。在教学中，抓住机会，适时渗透。教学知识的发生过程，实际上也是思想方法的发生过程、思考过程。因此，概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程都蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。

　　柏拉图说：他从不把自己看作一个帮助别人产生他们自己思想的“助产士”。学习有一条很重要的原则，就是不可替代的原则。对于数学思想方法的学习也不能仅仅靠灌输。应将概念、结论性知识的教学设计成再发现、再创造的教学。通过探索研究活动，让学生在动脑、动手、动口的过程中领悟、体验、提炼数学思想方法，并逐步掌握、运用它。

　　教材中为渗透数形结合思想，在七年级“有理数”一章中就先入为主，充分利用数轴，直观形象地给出了有理数的有关概念及运算。列方程解应用题中通过列表、图式，可使隐含的等量关系明朗化。到了八年级，随着无理数的引入，运用数形结合的思想，学生对“数轴上的点与实数一一对应”就很容易理解。勾股定理及其逆定理以及直角三角形相似的判定，教材中教师用代数的方法证明的，旨在体现数形结合的思想。说明代数的内容也可以用几何去解释，同时几何的问题也可以用代数来证明。总之，从数、式、方程、不等式到函数、解直角三角形、圆，无不闪烁着数形结合思想的光辉。在教学中，充分利用教材内容，不失时机地把数与形结合起来，即把数的精确性与形的直观性结合起来，可以收到意想不到的效果。如下面一道“标准”的代数题对初三参加兴趣小组的同学就很有启发。

　　例：求　　+    +    + ……+    的和。

　　这是高中的数列求和问题，对初中学生来说有难度，但如果设计一种情境：用一个长为1的棒，先截去　　，在截去剩下的　　，依次进行，求截去的棒的总长。借助这一图形直观运用数形结合的思想。学生就有了思考的依据，就会想出求截去的棒长的方法：

　　截去的长                  剩下的长

　　1—    =

　　×            　　　     —     =

　　×             　    —    =

　　……                   ……

　　于是   +     +    +……+    =（1—   ）+（   —   ）+……+（    —  ）=1—

　　如果变为：一个长为1的棒，先截去   ，再依次截去剩下的    ，   ，……，这样进行n次，求截去棒子的长。和上例一样，不难得到结果为1—   。

　　如果把这一情境再变为依次截去剩下的   ，  ，  ，  ……，      ，求截去的棒长，则又可得到：   +     +  ……+      =1—

　　这一结论的取得对高中生也不容易，但只要跟初中学生讲清n!=n×(n-1)×……×3×2×1，运用数形结合的思想，增加学生的思考空间，初中生一样能够获解，这一切得益于数学思想方法的升华，以及数学能力的提高。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学质量起到积极的作用。一旦掌握数学思想方法，学生对知识的理解更深刻，记忆更长久，思维更灵活，迁移能力更强，使学生体验到数学活动的价值和乐趣。

　　数学思想方法具有概括性、统摄性、导向性，站在“以学生的发展为本”的角度来看，在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法。在教学中适时适度渗透数学思想方法将对培养学生“终身可持续发展”的能力有极大的好处，也是提高学生素质的一个有效途径和措施。

　　【参考文献】：

　　【1】孔企平、张维忠、黄荣金编著《数学新课程与数学学习》北京高等教育出版社,2003.11.

　　【2】刘兼、孙晓天主编，《全日制义务教育数学课程标准解读》北京师范大学出版社,2002.5.

　　【3】林崇德著《学习与发展》   北京师范大学出版社  1999. 7

　　【4】张永强《浅谈数学思想方法对数学教学的作用》   甘肃教育   2006年10期