内容摘要：教学理论和实践总是存在一定的差距，因此作为一线的教师普遍形成了一种错误的认知：即理论总是不切实际的，因而对理论具有一种反感的心态，理论学习也始终不能在一线教师中得到极大的认同。本文通过学生对一道习题的错误认知，就其知识表征方式、认知结构、情绪因素等方面进行了深入透彻的理论分析，并依据理论分析提出了一系列的补救措施。试图为一线教师如何运用理论指导实践提供一个范例，一种思路，使教师对教学中存在的一些常见问题有着更为深入的认识，并能初步形成自觉地运用理论指导实践的意识和习惯。

　　关键词：习题分析  认知结构  知识表征  诊断与措施

　　问题的缘起

　　今年暑期，由于工作调动，我来到了地处县城东南边的一所学校——大通小学工作。这里的乡村气息浓郁，校园环境更是清雅、优美。但由于历史原因，且地处偏僻，学校的教育教学质量处于一种不理想的状态。

　　为了更深入地了解学校具体的教学情况，我带了一个毕业班的数学教学，共43名学生，其中19名女生，原以为凭着自己十几年的数学教学经验，平时又不断地学习领悟新课程的理念，对付一个班应该是马到成功的。但没曾想一不小心，马失前蹄，二个星期后的单元测试成绩十分令人不满意，其中这道题的错误率更引起了我的强烈注意。

　　一种商品现价200元，比原价降低了50元，求降低了百分之几。下面算式中正确的是（    ）

　　A、50÷200    B、50÷（200－50）  C、50÷（200+50）  D、（200-50）÷200

　　从统计数据看，此题的错误率竟然高达95%以上，其中选择A的约占8%，选择D的约占37%，选择B的竟达50%左右。

　　分析与诊断

　　也许对这个班级的具体情况还不够熟悉吧！面对这样的困境，我陷入了沉思：问题究竟出在什么地方呢？等静下心来重新审视这份做得并不怎么好的试卷时，发现其他错题也与此题有着本质的类似，例如“某班有男生26人，女生比男生少4人，求女生是男生的百分之几”等等，其中以此题的表现最为突出。通过仔细的分析以及与学生的访谈、辅导，发现主要有以下几方面的原因：

　　一、学生对知识的表征不清晰、不稳定

　　具体表现在有将近50%的学生选择了B，分析其中的原因，发现关键在于学生原有知识出现了断层，即二年级所学习的比多比少的概念至今还存在普遍的问题。应该说在构成学科能力知识结构的发展过程中，由于个别知识或者说是关键知识点的缺乏和薄弱，可以导致整体能力的下降，即“一节痛，百节不用”（孙膑兵法语）。因此我特地出示一组比多比少的练习题让学生在规定时间内完成，其中既有顺叙题，也有逆叙题。

　　六（1）班男生25人，女生比男生少3人，女生有多少人？

　　刘大伯家去年的大棚蔬菜收入8000元，今年比去年增加收入1200元，今年收入多少元？

　　普通青椒平均每个重90克，太空青椒每个比普通青椒重70克。太空青椒每个重多少克？

　　今年爸爸的年龄是37岁，比妈妈小3岁，妈妈的年龄是多少岁？

　　火车的速度是70千米，比汽车快20千米，汽车的速度是多少千米？

　　某厂六月份的产值是600万元，比七月份多50万元，七月份产值是多少万元？

　　某厂六月份的产值600万元，七月份比六月份多50万元，七月份产值多少？

　　……

　　从学生的答题情况看，发现对于顺叙题的解答还算比较顺利、正确的。一旦进入逆叙题，学生的错误率就突然增加，当两类练习题放在一起时，学生对比多比少的表征出现了明显的混乱现象。这说明学生原有知识的可辨性、稳定性、牢固性均存在问题。当我要求学生能否借助图画或者线段图进行表示时，学生几乎感到无从入手。应该说儿童的认知发展一般要经历三个阶段：动作表征——图像表征——符号表征，以上现象反映了学生在经历比多比少的概念学习时，前两个阶段尤其是表象操作方面缺乏必要的感悟和练习，因此造成学生直接进入符号操作时引起认知上的障碍，进而影响到后续的学习。

　　其次从上面一组的对比练习中笔者还发现，学生对知识表征的清晰度往往与他对信息的熟悉程度有关，即学生的陈述性知识表征不良也在很大程度上引起认知困难。对熟悉的、能联系学生已有知识和生活经验的问题情景学生能马上进行信息的处理。但对于某一陌生知识的表征，学生表现出由于表征不清而导致认知上的困难。上面一组练习题中，学生对于开头的几题反应快速，但后面几题情景离学生的生活经验越来越远，对学生的抽象性思维要求较高，结果往往使学生在学习中陷入死角而不能自拔。

　　二、学生没有建立良好的认知结构

　　认知结构的缺陷很容易造成学生的认知障碍，由于刚来到这所学校，对其数学教学的整体情况还不够熟悉，尤其是学生大脑中原有的数学语言与我的数学教学语言特色的相似性小，差异性大，直接造成了学生听课困难的现象，师生之间不能进行有效的互动，导致同化困难，更谈不上有效的顺应。因此形成这么一种现象：即学生在课堂上勉力记忆教师所传授的知识，其意义的表征和牢固程度都受到不同程度的影响，从而不能实现有意义的学习。

　　后来与学生的课余谈话中证实了这一情况，学生由于与老师接触的时间不长，因陌生而不敢质疑询问，因此当学生出现认知上的困难时，要么到同学那边去请教，要么到同学那里去抄袭答案，甚至有一部分学生自己买了一本类似教学参考书的《跟我学数学》直接将答案抄上去（笔者由于开学工作忙而未顾得上班内的状况）。所有这些给老师的一个假象是学生掌握得基本上差不多了。

　　其次，学生认知结构中很明显表现出对知识的抽象概括程度不高。而拥有抽像和概括程度高的知识结构，意味着学生能够站在一定的高度对信息进行居高临下的处理，也更能对知识进行广泛的迁移。例如就这一题而言，事实上涉及对两个数量的双重比较，而“比较”这一个概念就小学范围的知识来讲一般有两种情况，一是两数之差，一是两数之商。无论从课堂还是课外的交谈中，学生似乎都不甚了解“比多比少”就是求“两个数的差”，换句话说，在学生的认知结构中“差”作为“比多比少”的上位知识并没有被学生体验到，对于“商”的比较也有着同样的情况。此外在此题中无论是 “比多比少”还是 “求百分之几”，都需要寻找一个标准量才能进行比较，这一点在学生初次学习比多比少时因为没有深刻的体验，造成了学生在学习百分数时存在原有知识点缺乏的问题，用奥苏贝尔的话来说，就是没有找到一个有效的原有知识固定点。

　　第三，程序性知识没能达到自动化的程度

　　下面是教师针对选择答案A、D的学生进行辅导订正时的一段谈话：

　　师指着题目：“解决这道题我们应该从哪里入手？”

　　生：“关键句。”

　　师：“你能把它找出来吗？”

　　生：“降低了百分之几？”

　　师：“看到这样简单的语句，我们首先应该做一件什么事？”

　　学生明显停顿了一下，说道：“嗯！应该补充完整，也就是应该是现价比原价减低了百分之几？”

　　师：“这句话是什么意思呢？你能进行分析吗？”

　　生犹豫了一下，但最终还是说出了自己的分析：“这里将原价作为单位“1”平均分成若干份，减低的占了其中的几份，就是用减低的除以原价。”

　　师：“对啊，既然你已经得出了思路，那么降低的是多少，原价又是多少呢？条件中有没有告诉我们呢？”

　　……

　　可以说这样的现象有时令很多老师感到丧气，甚至百思不得其解。学生似乎明明懂得怎样解题，为什么一定要在教师的提问下才能解答出来呢？为什么学生单独面对此类题目时就是不会解答呢？仔细想来，除了学生有一定的思维惰性外，其实更为本质的是老师的提问等于为他提供了思考的路线，换句话来说，学生不知道从哪里开始，又从哪里结束。学生在这项认知过程中所唤醒和需要的是一种程序性知识，而程序性知识是以“如果/那么”的规则进行表征的的，心理学家从计算机科学中借用了产生式这个术语，把这种表征规则称之为产生式。一旦满足了一定的条件，便产生活动，这里不仅仅指的是学生的外部活动，更重要的是通过内心活动对符号进行的操作来产生思维加工活动。如果学生具有在面对问题情景时就知道怎么办的程序性知识的话，那么学生就会感到成功解决之后的喜跃，一旦形成良性的反应，学生的思考就会进入一种极佳的状态。

　　第四，认知的相对优势兴奋区表征出现偏差。

　　很多老师都有这样的体验：在辅导学生的学习过程中，某个学生的一种比较笨拙且容易导致错误的解题方法在被老师发现并予以纠正后，该生在后来的练习中还是因为用原来错误的思路导而致解题错误。这样的学生常常被老师斥责“死脑筋”“明摆着的知识就是想不到用”“刚刚教过，你到底听进去了没有”。在这种情况下，我们称该生以前使用的解题方法为具有优势兴奋性的知识，因为它是长期养成的一种思维习惯。

　　同样的现象也存在此题的辅导情况中，学生在教师针对此题辅导之后的几次独立作业中，还是重复出现了类似的错误。从这些错例中很明显可以看出，在学生头脑中占优势兴奋的知识点究竟是什么？下面是我和学生面对面的一次非常随意的没有心理压力的谈话。

　　师：“我们在课堂上的讨论和学习，你觉得都理解吗？”

　　生点点头：“理解呀！”

　　师：“那课堂上后来的几道练习题你都正确了吗？”

　　“都正确。”生这时显得有点兴奋，很明显还在回味课堂上的良好表现。

　　“哪你为什么每次独立作业的时候却还是用原来错误的方法去做呢？比如看到降低就用减法，看到增加就用加法呢？”老师皱起了眉头。

　　“我也不知道为什么。”学生苦着脸说道。

　　……

　　从交谈中可以看出，具有相对优势兴奋性的知识在学生的头脑中以潜意识的方式存在，事实上学生也根本没有意识到这一点。在更多的情况下，当一个有用的知识与另一个或多个有同样功能的知识同时并存在大脑中，如果某一个知识被优先激活了，则其他知识便失去了被激活的机会。很明显，学生出现上述情况就是因为学生第一次在学习这部分知识时所形成的一种产生式知识结构是看到降低肯定是减法，而这又正好符合学生大部分的生活经验，在头脑中占有优势兴奋地位。因此虽然教师在课堂中进行反复的强调，但由于在后续的学习中没有得到有效的顺应，没能进行知识的重建，因此当学生以后碰倒类似的问题时，还是会按照原有的兴奋程度高的解题策略进行解题。有时我们让学生仔细地重新审视一遍题目时，很多学生读着读着会猛然醒悟过来：“噢！不对不对，我错了，是x要多，不是y多。”这其中的原因就在于正确的认知图式在学生的头脑中处于劣势的地位，总是后一步得到提取。

　　对策和措施

　　基于以上的分析和诊断，我们知道了学生出现错误的原因，接下去关键的一步就是制定具体的补救措施。根据以上的分析和学生的实际情况，笔者主要采取了以下几种辅导补救策略：

　　一、清晰有效地表征信息

　　创造学研究表明，一个创新思维的灵活闪现，首先在于对需要的信息有一个完整清晰的表征，从而能够实现知识的顿悟和创新。因此我注重让学生不断地进行完整地读题训练，就如同语文一再强调的阅读语感一样，我希望我的学生能够从语感上领悟题意，在读题中能够完整、清晰的表征有关的信息。

　　我曾做过好几次试验，学生产生错误后，教师根本没有作指导，只是让学生一遍又一遍地读题，边读边想，如甲比乙多几，如何求甲或乙；要求学生把诸如降低了百分之几的缩略语完整地表达出来。每次读好之后，教师紧跟着追问一句：“你读出来么？你读懂了吗？”。结果有70% 的学生都能将题目正确解答出来。我想这就是学生不能正确解题的一个基本原因，即需要处理的信息在大脑中的表征还很模糊、不够牢固和清晰。因此解决这类问题最基本的策略是多读几遍，指导学生通过朗读达成理解，就是为了让问题情景在大脑的短时记忆中更稳定、更清晰、更熟练一些，这样就更容易实现解决问题的顿悟。

　　其次心理学表明：一个人的短时记忆空间是有限的。作为教师应该有意识地引导学生对信息进行有效的简约化，培养学生由外化进入简约的内化处理能力。这时教师可以帮助学生利用外部工具来解决问题，如把需要加工的信息内容写在纸上，采用表征简化、示意图、代表性符号等有效的策略帮助学生减轻记忆的负担，使得短时记忆的空间得到充分地利用。例如：我国可吃的植物有2000种（以上），相当于欧洲和美洲总数的200%等一些长句。经常发现学生读完题时，记住了后面的又忘了前面，因此我训练学生将表现数量关系的句子简缩成：我国是欧美的200%。这样的训练使得学生的短时记忆得到充分的利用，信息表征也显得清晰稳定，大大提高了学生的学习能力。

　　二、形成良好的认知结构

　　上述分析时曾经提到学生以前一直使用的（即使是错误的）解题方法具有优势兴奋权，因为它是长期以来养成的一种思维习惯。要彻底纠正学生的这个有害思维习惯，就必须把后来获得的这个新的解题思维方法变成在优势兴奋水平上高于原来思维的、更容易被优先激活的知识，或者更确切地说就是帮助学生形成良好的认知结构。

　　首先教师要帮助学生实现有意义的学习，根据学生的年龄特点建立形象化的认知图式。应该说程序性的知识有抽象性和形象性两种，而对于小学生尤其是那些学习比较困难的学生来说，更需要的是一种形象化的程序性知识，能够让学生在头脑中迅速表征出图像来。在这种情况下，一般的对策就是紧密联系学生的生活经验和已有知识，让学生实现有意义的学习。教师引导学生借助于生活经验和数学知识之间相似性大的特点，将新知纳入到原有的知识结构中去，使学生的知识得以同化和顺应。例如在此题的辅导中，有几个学生不管怎样认真读题，总是不能完整地对信息进行表征，如现价比原价降低了50元。令人郁闷的是学生读完题后总是认为原价少，从而出现选择B之类的情况。

　　这样的问题怎么解决呢？我把这几个小家伙叫到身边：“我们来做一个游戏，用比来说一句话，要求把话说完整，我先来，陈老师的岁数比你们大。”

　　小家伙们一听有游戏做，劲头马上起来了。小王马上接口：“陈老师的身材比我们高。”

　　“不，应该是你高。”我故意这么说。

　　“不对。”小王马上给我纠正。“是陈老师高。”

　　我笑了笑，不动声色地继续让学生说下去。

　　“我比陈老师的脚短。”        “不，陈老师的脚短。”

　　“陈老师的力气比我们大。”    “不，你们的力气大”      ……

　　小家伙们一听急了，今天是怎么了，老师怎么总是出错？我一看时机差不多了，拿出他们的作业，他们一看，饶了饶后脑勺，嘿嘿地笑了！

　　奥苏贝尔的有意义学习理论认为，教师需要帮助学生建立实质性的、非人为的知识之间的内在联系，即必须找准知识的原有固定点，以帮助学生实现最大程度的迁移。事实上，在学生的潜意识里已有的知识和生活经验存在着很隐蔽的相似关系，如果我们能够意识到这一点，则我们的学习就变得机智巧妙，从而让学生进行主动建构，实现有意义的学习，这样的有意义地学习就保证了知识在大脑中的相对优势权。

　　其次，及时概括，帮助学生建立良好的知识结构。一般来说，概括程度高、经过合理编码的知识是具有优先兴奋权的，能够进行居高临下的迁移。这样的学生在以后的学习中更能表现出分析问题和解决问题的敏捷性和正确性，表现出更高的解题智慧。

　　原有固定点的知识是奥苏贝尔的心理学专用名词，但核心知识点的同化作用更为关键。运用这个原理意味着教师应有意识地引导学生对所学的知识进行概括整理，例如此题中涉及比较的知识结构如下：

　　从上面我们很明显可以看到各知识点之间以及上下位的内在联系，差和商就是基于两个数量比较的运算结果，而无论何种比较都需要寻找一个参照物（即平常所说的标准量）才能得出明确的结果，这一点对于这些学生来说体悟是不深的。这里的参照物、同样多等概念就处于知识结构的核心地位。教师在让学生初次学习时就要引导学生反思平时生活中习以为常的生活经验，培养学生用数学的眼光观察周围的世界，完成对知识的重构。

　　例如教师创设了这么个情景：教师播放了一段姚明的录像，让学生谈谈自己的想法。不少学生发出这样的感叹：要是我有姚明这么高，我也去打篮球。“是呀，姚明真的很高！”老师附和道，但教师的话锋马上一转，“姚明真的很高吗？如果用数学的眼光去思考，你觉得这句话有问题吗？”……

　　接着老师联系本班实际出示了一组发散性的练习：六（3）班男生24人，女生19人，我们可以怎样对他们进行比较？比较之后引导学生进行分类整理，学生很容易体会到由于参照物（标准量）的不同，比较结果也是不同的，这就培养了学生异中见同的能力，学生的智慧得到了升华。

　　三、培养良好的情知策略

　　认知策略通常指学生在学习和贮存智慧技能以及其他一些能力的同时，还逐渐表现出种种能够改进那些与学习同时发生的内部过程的自我调控方式，“是调控自己的认识活动以提高认知操作水平的程序性知识。” 即如何去学习，如何去记忆，如何对自己的思维做出反省和分析的规则构成，这类知识对有效学习起着很大作用。正如上面所分析的那样，一些学生在解决数学问题过程中，由于策略性知识的不足，表现出在对较复杂问题的解决中无从入手。

　　良好的认知策略意味着学生碰倒一个问题情景时，能够知道怎样沿着一定的思路走下去，也就是说学生建构的程序化知识应该获得自动化的熟练程度，这一方面需要必要的、一定程度的练习（不是题海战术）。尤其是一些学困生由于认知能力差，往往不像优秀生那样做到举一反三，可能更需要的是“举十才知一”。另一方面则尝试引导学生进行出声思维的训练，来帮助学生形成必要的程序性知识。例如让学生找出题目中表示数量关系的关键句，不完整的补充完整，并要求学生口答思维的过程。通过出声思维的训练，逐步使得学生经历知识由外化到内化的过程，培养学生在学习中学会自问自答，并随时反省自己的解题过程和思路的正确性，从而实现最有效的学习――自我否定后的自我肯定。

　　其次，任何知识经验或者信息在大脑中储存、记载或呈现时，都无不“染上”情绪色彩，表现出一定的情绪性质，这就如同一枚硬币的正反两面是紧密联系在一起的。学生首次学习时带有怎样的情绪直接影响到下一次呈现这一个知识会有怎样的情绪体验，如果在当时学生伴有一种愉悦的情绪体验，那么当他提取这个知识进行加工时，也往往会伴有兴奋、愉悦、轻松的体验，在学习过程中学生就可能不觉得累，效率也就会更高。可以这么说，与愉快情绪建立联系的知识，在长时记忆中能够被优先提取。因此，教师在课堂教学和辅导中要真正做到创设一种民主、和谐的气氛，充分利用自己的智慧，使学生感到学习的轻松和愉悦。

　　就这样经过一段时间的辅导，我重新对这些学生进行了单独的测试。从测试结果表明，虽然个别学生还是存在一些问题，但多数学生的成绩有了很大的提高，平均分提高了将近十分，值得高兴的是对比多比少的问题的认知障碍基本得以消除，学生的认知结构得到明显的改善，并获得了一些较为扎实的解题策略，尤其可喜的是由于注重对学生的认知情绪的培养，使得这些学生对数学学习重新树立了信心，时不时能够主动来到办公室来问这问那，并自发自觉地思考一些数学问题，用新课程的理念来说，不仅获得了知识技能、方法和过程，更是初步形成了良好的价值态度观。

　　主要参考文献：

　　皮连生主编.知识分类与目标导向教学—理论与实践.上海：华师大出版社.98年版.

　　金洪源 .学习行为障碍的诊断与辅导.上海：上海教育出版社，2004.12

　　赵小云.运用学具促使数学学习困难生转化的研究.数学教学学报.2001.2

　　裴利芳.学习困难学生认知因素分析.心理学动态. 1995. 4

　　纪桂萍 焦书兰 何海东.小学生数