数论之整数拆分练习16
奥数网
2009-12-24 14:23:40
有一些自然数，它可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和，求满足上述条件的最小自然数。
分析：设满足要求的最小自然数为11，由9个连续自然数的和是中间的数（第5个数）的9倍知，n是9的倍数；
同理，n是11的倍数；
又10个连续自然数a1,a2,…,a10的和为：
（a1+a10）×10÷2=5(a1+a10)
是5的倍数，所以n是5的倍数；
而9，11，5两两互质，所以n是5×9×11=495的倍数，由n的最小性取n=495，事实上，有：
495=51+52+53+…+59（9个连续自然数之和）
=45+46+47+…+54（10个连续自然数之和）
=40+41+42+…+50（11个连续自然数之和）
从而知，满足条件的最小自然数是495。
点金术：巧用同理的方法把已知和未知之间联系起来。
