11.3  例题选讲

例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。

分析与解：从图6—5和图6—6中可知： 与；与；与互相处于相对面的位置上。只要在图6—7

　　（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。

　　先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。

　　再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。

　　最后再看图6—7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。

　　图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。

例2 图6—9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。

分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6—10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。

例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？

分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。

例4 图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。

　　正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）

　　一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）

　　几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）

　　答：（略）

例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？

分析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以

　　上面的表面积为12×9=9（平方厘米）

　　前面的表面积为12×8=8（平方厘米）

　　左面的表面积为12×7=7（平方厘米）

　　几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=

　　答：（略）

例6 图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π=3.14）

分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。

　　因为圆锥形铅锤的体积为

　　设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）

　　所以有下列方程：

　　60π=100πx，解此方程得：

　　x=0.6（厘米）

　　答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。