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小升初数学图形面积3

网络 2009-08-27 15:17:33

6.3  其他的面积

  这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难,但可以给你启发的内容不少,请读者仔细体会.

  例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形(如右图),求它的面积.

  解:直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.

  周围小正方形有3个,面积为1的三角形有5个,面积为1.5的三角形有1个,因此围成面积是

  4×4-3-5-1.5=6.5.

  例6与本题在解题思路上是完全类同的.

  例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形,AF长是4,求阴影部分三角形AEF的面积.

  解:三角形AEF中,我们知道一边AF,但是不知道它的高多长,直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB,底边AB,就是长方形的长,高是长方形的宽,即BC的长,面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半,而扩大的三角形AFB是直角三角形,它的两条直角边的长是知道的,很容易算出它的面积.因此

  三角形AEF面积=(三角形 AEB面积)-(三角形 AFB面积)

  =8×6÷2-4×8÷2

  = 8.

   这一例题告诉我们,有时我们把难求的图形扩大成易求的图形,当然扩大的部分也要容易求出,从而间接地解决了问题.前面例9的解法,也是这种思路.

  例15 下左图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草部分的面积(阴影部分)有多大?

 

  解:我们首先要弄清楚,平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出,底是2,高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.

  可以设想,把这个平行四边形换成 10×2的长方形,再把横竖两条都移至边上(如前页右图),草地部分面积(阴影部分)还是与原来一样大小,因此

  草地面积=(16-2)×(10-2)= 112.

  例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积.

  解:实际上,阴影部分是一个梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接来求它的面积.

  阴影部分与三角形BCE合在一起,就是原直角三角形.你是否看出, ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC,是直角边AD的长减去3,高就是DC的长.因此阴影部分面积等于

  梯形 ABCD面积=(8+8-3)×5÷2= 32.5.

  上面两个例子都启发我们,如何把不容易算的面积,换成容易算的面积,数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领,首先要提高对图形的观察能力.

  例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF,FE,EC都等于3, CB, BD都等于 4.求这个图形的面积.

  解:两个直角三角形的面积是很容易求出的.

  三角形ABC面积=(3+3+3)×4÷2=18.

  三角形CDE面积=(4+4)× 3÷2=12.

  这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG,只要减去这个重叠部分,所求图形的面积立即可以得出.

  因为 AF= FE= EC=3,所以 AGF, FGE, EGC是三个面积相等的三角形.

  因为CB=BD=4,所以CGB,BGD是两个面积相等的三角形.

  2×三角形DEC面积

  = 2×2×(三角形 GBC面积)+2×(三角形 GCE面积).

  三角形ABC面积

  = (三角形 GBC面积)+3×(三角形GCE面积).

  四边形BCEG面积

  =(三角形GBC面积)+(三角形GCE面积)

  =(2×12+18)÷5

  =8.4.

  所求图形面积=12+ 18- 8.4=21.6.

  例18 如下页左图,ABCG是4×7长方形,DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.

  解:三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.

  (三角形BCM面积)-(三角形DEM面积)

  =(梯形ABEF面积)-(两个长方形面积之和

  =(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)

  =3.

  例19 上右图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少?

解:所求的影阴部分,恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分,而面积为13,49,35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分,因此

  (三角形 ABC面积)+(三角形CDE面积)+(13+49+35)

  =(长方形面积)+(阴影部分面积).

  三角形ABC,底是长方形的长,高是长方形的宽;三角形CDE,底是长方形的宽,高是长方形的长.因此,三角形ABC面积,与三角形CDE面积,都是长方形面积的一半,就有

  阴影部分面积=13 + 49+ 35= 97.

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