5.3  余数

　　在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：

　　65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.

　　上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是

　　被除数÷除数=商……余数.

　　上面两个算式可以写成

　　65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.

　　也就是

被除数=除数×商+余数.

　　通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.

　　特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.

　　例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.

　　解：这个质数能整除

　　5397-15＝5382，

　　而 5382＝2×31997×13×23.

　　因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.

　　当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.

　　例18 求645763除以7的余数.

　　解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成

　　645763→15763→1763→363→13→6.

　　如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：

　　645763→15000→1000→6.

　　带余除法可以得出下面很有用的结论：

　　如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.

　　例19 有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

　　解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即

　　1000-967＝33＝3×11，

　　2001-1000＝1001＝7×11×13，

　　2001-967＝1034＝2×11×47.

　　这个整数是这三个差的公约数11.

　　请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.

　　例如，求出差1000-967与2001-1000，

　　那么差

　　2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）

　　＝1001＋33

　　＝1034.

　　从带余除式，还可以得出下面结论：

　　甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.

　　例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.

　　例20 有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？

　　解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：

　　从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为

　　1998＝ 8×249＋ 6，

　　所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.

　　一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.

　　这十二个数构成一个循环.

　　按照七天一轮计算天数是

　　日，一，二，三，四，五，六.

　　这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数

　　0， 1， 2， 3， 4， 5， 6

　　的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.

　　循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.

　　下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：

　　甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.

　　例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.

　　1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.

　　例 21 191997被7除余几？

　　解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.

　　先写出一列数

　　2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，

　　2×2×2×2＝16，….

　　然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：

　　事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）

　　从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.

　　1997＝ 3× 665 ＋ 2.

　　就知道21997被7除的余数，与21997 被 7除的余数相同，这个余数是4.

　　再看一个稍复杂的例子.

　　例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：

　　0，1，3，8，21，55，….

　　问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？

　　解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：

　　3＝1×3-0，

　　8=3×3-1，

　　21=8×3-3，

　　55=21×3-8，

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　　不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：

　　将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.

　　用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：

　　注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.

　　从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.

　　70 ＝12×5+10.

　　因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.

　　在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：

　　“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：

　　一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.

　　这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.

　　例23 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

　　解：除以3余2的数有：

　　2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

　　它们除以12的余数是：

　　2，5，8，11，2，5，8，11，….

　　除以4余1的数有：

　　1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

　　它们除以12的余数是：

　　1， 5， 9， 1， 5， 9，….

　　一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.

　　上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.

　　如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是

　　5＋ 12×整数，

　　整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.

　　例24 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.

　　解：先列出除以3余2的数：

　　2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

　　再列出除以5余3的数：

　　3， 8， 13， 18， 23， 28，….

　　这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是

　　8＋15×整数，

　　列出这一串数是

　　8， 23， 38，…，

　　再列出除以7余2的数

　　2， 9， 16， 23， 30，…，

　　就得出符合题目条件的最小数是23.

　　事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.

　　最后再看一个例子.

　　例25 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.

　　解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.

　　3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.

　　为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是

　　159， 160， 161.

　　注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？