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小升初数学整数问题2

网络 2009-08-27 15:06:18

5.2  分解质因数

  一个整数,它的约数只有1和它本身,就称为质数(也叫素数).例如,2,5,7,101,….一个整数除1和它本身外,还有其他约数,就称为合数.例如,4,12,99,501,….1不是质数,也不是合数.也可以换一种说法,恰好只有两个约数的整数是质数,至少有3个约数的整数是合数,1只有一个约数,也就是它本身.

  质数中只有一个偶数,就是2,其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数,例如,15,33,….

  例9 ○+(□+△)=209.

  在○、□、△中各填一个质数,使上面算式成立.

  解:209可以写成两个质数的乘积,即

  209=11×19.

  不论○中填11或19,□+△一定是奇数,那么□与△是一个奇数一个偶数,偶质数只有2,不妨假定△内填2.当○填19,□要填9,9不是质数,因此○填11,而□填17.

  这个算式是 11×(17+2)=209,

  11×(2+17)= 209.

  解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积,特别是一些质数的乘积,是解决整数问题的一种常用方法,这也是这一节所讲述的主要内容.

  一个整数的因数中,为质数的因数叫做这个整数的质因数,例如,2,3,7,都是42的质因数,6,14也是42的因数,但不是质因数.

  任何一个合数,如果不考虑因数的顺序,都可以唯一地表示成质因数乘积的形式,例如

  360=2×2×2×3×3×5.

  还可以写成360=23×32×5.

  这里23表示3个2相乘,32表示2个3相乘.在23中,3称为2的指数,读作2的3次方,在32中,2称为3的指数,读作3的2次方.

  例10 有四个学生,他们的年龄恰好是一个比一个大1岁,而他们的年龄的乘积是5040,那么,他们的年龄各是多少?

  解:我们先把5040分解质因数

  5040=24×32×5×7.

  再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积:

  24×32×5×7=7×8×9×10.

  所以,这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.

  利用合数的质因数分解式,不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻求一般方法,先看一个简单的例子.

  我们知道24的约数有8个:1,2,3,4,6,8,12,24.对于较大的数,如果一个一个地去找它的约数,将是很麻烦的事.

  因为24=23×3,所以24的约数是23的约数(1,2,22,23)与3的约数(1,3)之间的两两乘积.

  1×1,1×3,2×1,2×3,22×1,22×3,23×1,23×3.

  这里有4×2=8个,即 (3+1)×(1+1)个,即对于24=23×3中的23,有(3+1)种选择:1,2,22,23,对于3有(1+1)种选择.因此共有(3+1)×(1+1)种选择.

  这个方法,可以运用到一般情形,例如,

  144=24×32.

  因此144的约数个数是(4+1)×(2+1)=15(个).

  例11 在100至150之间,找出约数个数是8的所有整数.

  解:有8=7+1; 8=(3+1)×(1+1)两种情况.

  (1)27=128,符合要求,

  37>150,所以不再有其他7次方的数符合要求.

  (2)23=8,

  8×13=104, 8×17=136,符合要求.

  33=27;

  只有27×5=135符合要求.

  53=135,它乘以任何质数都大于150,因此共有4个数合要求:128,104,135,136.

  利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解,例如

  720=24×32×5,168=23×3×7.

  那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数,上面两个整数都含有质因数2,较低指数次方是23,类似地都含有3,因此720与168的最大公约数是

  23×3= 24.

  在求最小公倍数时,很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5,而168中无5,可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是

  24×32×5×7=5040.

  例12 两个数的最小公倍数是180,最大公约数是30,已知其中一个数是90,另一个数是多少?

  解:180=22×32×5,

  30=2×3×5.

  对同一质因数来说,最小公倍数是在两数中取次数较高的,而最大公约数是在两数中取次数较低的,从22与2就知道,一数中含22,另一数中含2;从32与3就知道,一数中含32,另一数中含3,从一数是

  90=2×32×5.

  就知道另一数是

  22×3×5=60.

  还有一种解法:

  另一数一定是最大公约数30的整数倍,也就是在下面这些数中去找

  30, 60, 90, 120,….

  这就需要逐一检验,与90的最小公倍数是否是180,最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验,有时会较费力.

  例13 有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列,那么第三个分数是多少?

  解:把420分解质因数

  420=2×2×3×5×7.

  为了保证分子、分母不能约分(否则约分后,分子与分母的乘积不再是420了),相同质因数(上面分解中的2),要么都在分子,要么都在分母,并且分子应小于分母.分子从小到大排列是

  1,3,4,5,7,12,15,20.

  分子再大就要超过分母了,它们相应的分数是

  

  

  两个整数,如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.

  例13实质上是把420分解成两个互质的整数.

  利用质因数分解,把一个整数分解成若干个整数的乘积,是非常基本又是很有用的方法,再举三个例题.

  例14 将8个数6,24,45,65,77,78,105,110分成两组,每组4个数,并且每组4个数的乘积相等,请写出一种分组.

  解:要想每组4个数的乘积相等,就要让每组的质因数一样,并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.

  6=2×3, 24=23×3,

  45=32×5, 65=5×13,

  77=7×11, 78=2×3×13,

  105=3×5×7, 110=2×5×11.

  先放指数最高的质因数,把24放在第一组,为了使第二组里也有三个2的因子,必须把6,78,110放在第二组中,为了平衡质因数11和13,必须把77和65放在第一组中.看质因数7,105应放在第二组中,45放在第一组中,得到

  第一组:24,65,77,45.

  第二组:6,78,110,105.

  在讲述下一例题之前,先介绍一个数学名词--完全平方数.

  一个整数,可以分解成相同的两个整数的乘积,就称为完全平方数.

  例如:4=2×2, 9=3×3, 144=12×12, 625=25×25.4,9,144,625都是完全平方数.

  一个完全平方数写出质因数分解后,每一个质因数的次数,一定是偶数.

  例如:144=32×42, 100=22×52,…

  例15 甲数有9个约数,乙数有10个约数,甲、乙两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分别是多少?

  解:一个整数被它的约数除后,所得的商也是它的约数,这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时,也就是这个数是完全平方数时,它的约数的个数才会是奇数.因此,甲数是一个完全平方数.

  2800=24×52×7.

  在它含有的约数中是完全平方数,只有

  1,22,24,52,22×52,24×52.

  在这6个数中只有22×52=100,它的约数是(2+1)×(2+1)=9(个).

  2800是甲、乙两数的最小公倍数,上面已算出甲数是100=22×52,因此乙数至少要含有24和7,而24×7=112恰好有(4+1)×(1+1)=10(个)约数,从而乙数就是112.

  综合起来,甲数是100,乙数是112.

  例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元,并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种),可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完,问红笔、蓝笔每支各多少元?

  解:35=5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元(否则能把35元恰好用完),也不能是17-5=12(元)和17-7=10(元),否则另一种笔1支是5元或7元.

  记住:对笔价来说,已排除了5,7,10,12这四个数.

  笔价不能是35-17=18(元)的约数.如果笔价是18的约数,就能把18元恰好都买成笔,再把17元买两种笔各一支,这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数:1,2,3,6,9.

  当然也不能是17-1=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11, 17-9=8.现在笔价又排除了:

  1,2,3,6,8,9,11,14,15,16.

  综合两次排除,只有4与13未被排除,而4+13=17,就知道红笔每支 13元,蓝笔每支 4元.

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