第五讲  整数问题之一

　　整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。

　　对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：

　　49=4×10+9，

　　235=2×100+3×10+5，

　　7064=7×1000+6×10+4，

　　…………………

　　就是

5.1  整除

　　整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.

　　1.整除的性质

　　性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.

　　例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.

　　性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

　　例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.

　　性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.

　　例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36.

　　如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.

　　例如：7与50是互质的，18与91是互质的.

　　性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.

　　例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72

　　能被3与4的乘积12整除.

　　性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.

　　性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：

　　要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.

　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.

　　2.数的整除特征

　　（1）能被2整除的数的特征：

　　如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.

　　（2）能被5整除的数的特征：

　　如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.

　　（3）能被3（或9）整除的数的特征：

　　如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

　　（4）能被4（或25）整除的数的特征：

　　如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

　　（5）能被8（或125）整除的数的特征：

　　如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

　　（6）能被11整除的数的特征：

　　如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.

　　是什么数字？

　　解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.

　　要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.

　　再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.

　　如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；

　　如果b=2，只有a=5，此数是7542；

　　如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；

　　如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；

　　如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.

　　因此其中最小数是7146.

　　根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.

　　例2 一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.

　　解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.

　　这笔帐是367.92元.

　　例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.

　　解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是

　　122364.

　　例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.

　　解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.

　　要被5整除，个位数只能是0或5.

　　再考虑被11整除.

　　（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.

　　（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.

　　满足条件的四位数只有两个：7040，7645.

　　例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？

　　，要使它被11整除，要满足

　　（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）

　　能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.

　　再介绍另一种解法.

　　先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.

　　要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.

　　43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504.

　　思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？

　　（答：1023495）

　　例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？

　　与上例题一样，有两种解法.

　　解一：从整除特征考虑.

　　这个七位数的最后一位数字显然是0.

　　另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.

　　1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：

　　1993500，1993320，1993680，

　　其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.

　　解二：直接用除式来考虑.

　　2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.

　　现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：

　　因为 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.

　　例7 下面这个41位数

　　能被7整除，中间方格代表的数字是几？

　　解：因为 111111＝3×7×11×13×37，所以

　　555555＝5×111111和999999＝9×111111

　　都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.

　　右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.

　　把55□99拆成两个数的和：

　　55A00＋B99，

　　其中□=A+B.

　　因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.

　　注意，记住111111能被7整除是很有用的.

　　例8 甲、乙两人进行下面的游戏.

　　两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中

　　每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.

　　如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？

　　解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.

　　上面已经列出乙不能获胜的N的取值.

　　如果N＝1，很明显乙必获胜.

　　如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.

　　考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.

　　综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.

　　记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.