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数学学习乐园之一百二十九(有名字的数)

网络 2009-04-01 19:01:41

  回文数

  这种数类似25 452,从前往后读与从后往前读皆相同,所以称为回文数(palindromic numbers).

  不要将一位数包括在内,最小的回文质数与最小的回文平方数是多少?其他还有多少小于1000的回文平方数?

  在100与200之间有5个回文质数,它们是多少?在400与700之间为何没有回文质数?试证明在1 000与2 000之间的所有回文数有公因数.

  过剩数、完全数与亏损数

  考虑8这个数.其因数除8外,还有1、2、4,其和为7,小于8.因此之故,希腊数学家将8归类为过剩数(excessive number).再如18这个数,其因数为1、2、3、6、9,和为21,所以是一种亏损数(defective number).

  有些数具有非常特殊的性质,能等于其因数之和.例如6,其因数为1、 2、 3.希腊人将这些数称为完全数(perfect num-ber).

  (1)将小于30的数以这3种性质分类.

  (2)完全数相当少,且间隔很远.欧几里德证明当2n-1为质数时,任何形式为

  2n-1(2n-1)

  的数皆为完全数.

  试找出使2n-1为质数的n值,以找到更多的完全数.

  互满数

  有一些成对的数具有相当奇妙的关联性,也就是其中一个数的因数和会等于另一个数.因这种两数之间存在“互利共生”的现象,数学家将它们命名为互满数(amicable pairs).

  最小的一对互满数为220与284.

  220:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

  284:1+2+4+71+142=220

  欧拉在研究过这种数之后,在1750年给出了60对互满数.但令人惊讶的是,他漏掉了第二小的一对,即1 184与1 210.直到1866年,才由一位16岁少年帕格尼尼(Paganini)发现了它们.试找出1 184与1 210的因数,并检验其密切的关联性.
 

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