在证明某数是否为质数时，最基本的问题就是：确定某数是否为质数的唯一方法，就是找出其因数．长久以来，人们一直想找出表示质数的“公式”，但都徒劳无功．下面介绍一些前人努力的结果．

　　(1)考虑下列的质数序列及其差分：

　　只要继续生成质数，此序列就能持续下去．

　　差分的形式显示出此序列可以下列二次式导出：

　　n²+n+11

　　(2)以不同的n代入，求下列二次式的值：

　　n²+n+41

　　并检验得出的值是质数还是合数(除1与其本身之外还有其他因数)．

　　这是一个相当了不起的公式，因为从1至80，除了7个数之外，其他由它所生成的数都是质数．请问使n²+n+41不为质数的第一个n值是多少？

　　(3)更好的公式为：

　　n²-79n+1601

　　因为它对于所有小于或等于80的整数都能生成质数．

　　(4)使下式不为质数的最小n值是多少？

　　2n²+29

　　(5)1640年，数学家费玛(Fermat)以为自己发现了可以生成质数的公式：

　　2²ⁿ+1

　　试求当n=0，1，2，3，4时，由此公式所得出的数．有些数为质数．

　　之后经过了一百多年，才由数学家欧拉证明：2²⁵+1有两个因数：641与6700417．