动手学数学之四十八(平面几何作图)
用直尺画出两组间隔相等的平行线,如图1所示,线与线之间的距离等于直尺的宽度,使其成为棋盘状的平行四边形.若改变两组线之间的角度,则会得出不同形状的平行四边形,但其形状仍然具有一些特性.如图2,将这些平行四边形转过来,使较长的对角线转到上下的方向,你将会发现其实这些平行四边形皆为扑克牌的方块形状,即数学家所称的菱形.如果你画的两组平行线相交的角度为直角,则其形状是什么?
不管你所用的直尺宽度是多少,或你所画的两组平行线所夹的角度为多少,所画出的所有菱形的边长均相等:
AB=BC=CD=DA
如果你将任一菱形的两条对角线画出,你将发现它们会互相垂直:
BD⊥AC
并且对角线会平分它所经过的角,例如:
∠BAC=∠DAC
∠CBD=∠DBA
此性质对于其他平行四边形而言并不一定成立,可对照一下菱形和一般的平行四边形沿着对角线折叠后的情形.
因为菱形具有特殊性质,可以使用直尺的平行边将它画出来.我们也可以使用直尺与圆规做一些传统的作图题.
将角分为二等分
要平分∠ABC,可用直尺的平行边画出分别平行于BC与BA的直线(两组平行线之间的距离相等),使其交于P点,连接BP便可平分此角(见图3).
平分一条线段
要平分一条线段AB,首先将直尺放在线段AB上,慢慢向左方倾斜,使尺的两平行边恰好碰触到A、B两点,并画出直线l与m.然后再将直尺向右倾斜,使其两平行边碰触到A与B两点,并画出直线p和q.这里我们假定,线段AB的长度大于直尺的宽度.
现在这4条线l、m、p、q形成一个菱形,而AB为其对角线之一.再画出另一条对角线XY便可平分线段AB(见图4).
作一条与已知直线成直角的直线
要画出一条经过B点而与AB垂直的直线,可先用直尺的平行边画出一组平行线x、y、z而得出M与N两点,这两点到B点的距离相等.现在移动直尺使其两平行边触及M与B两点,画出直线r与s,则由r、s、y与z可形成菱形,且其一对角线与AB垂直.另一方面,在作出M与N两点后,也可以利用前述的作图法垂直平分线段MN(见图5).
问题:若给定一条镜像对称线与线外一点,你如何只利用直尺的平行边作出该点的镜像?