几何学是研究形状的学问。这种定义令人听起来总有一种空泛没有实质内容的感觉，尽管这个定义是比较科学的。从某种意义上讲，几何学家是审美的法官，因为他们时常对女性的曲线是否优美评头品足，但这种对女性曲线的评价远不是几何学这一名词的含义。人们常说两点之间曲线最美，尽管这里谈到了曲线，而曲线确是几何学中的一个基本术语，然而，这样的论断与其说属于数学的内容，毋宁说属于美学的范畴更恰当。

　　我们可以从对称性着眼，对几何学进行更准确的定义。所谓对称性，就是说一个图形经过某种变换之后形成的图形与原图形一样。例如，字母“H”具有180度旋转对称性。就是说如果我们把这个字母旋转180度――头向下，底朝上――我们得到的图形还是字母“H”。单词“AHA”具有反射对称性。把它放在一个镜子前面，镜子反射出的单词依然是“AHA”。

　　一种图形做某种指定的对称变换之后，它的各种性质并不改变，几何学的每一分支都可以定义成对这种性质的研究。例如，欧几里德平面几何学所涉及的是，当一个图形在平面上移动、旋转、镜前反射或者成比例地放大或缩小时，对它的不变性质进行研究；仿射几何学研究的是当一个图形以一定的方式“扩展”之后所表现出的不变性质；投影几何学研究的是在投影状态下的不变性质；拓扑学研究问题的着眼点则是，把图形的形状看作是柔软可变的，在形状变化的过程中，问题的某些特性并不因之而变化，亦即通过维持性质不变而仅仅改变形状来解决问题。

　　本书的每一章节中都可能或多或少地涉及到一些几何问题，但本章则以解决几何问题为主旨。当然，我们在这里选择的几何问题都是些貌似复杂但利用一点奇妙的技巧便可轻而易举解决的问题。本章的第一个问题是个切乳酪的问题，在这个问题中我们不难发现，一个非常简单的问题也涉及到了数学的好多个分支。它涉及到了平面几何、立体几何、组合、代数。如果把这个问题再引申一步，还要涉及到数学中的另一个重要理论――有限差分理论。

　　“曲线通幽”是一个拓扑学的问题。通过把折线变换成细绳的奇妙想法来解决问题，表明了一种形式上的拓扑变换――一个棘手的问题变成了一个简单的封闭曲线上依次排列着若干个点的浅显明了的问题。线路的变换包含着拓扑的性质。解决这一问题可以把折线变换成一个圆，把它变换成一个正方形或一个三角形亦无不可。

　　接下来的两个问题――“神奇的剑”和“奇妙的路线”――使我们离开了平面进入了三维空间欧几里德几何学的王国。由飞行路线引出了一个著名的曲线问题即四只小海龟的行进路线问题，从这个问题中我们不难发现有时利用一个简单的技巧可以省去多少繁杂艰苦的计算。兰莎的测量问题又使我们回到了平面上，使我们认识了欧几里德几何领域中的分割理论与可缩理论。可缩理论属于平面组合几何学，欧几里德小姐的切割问题则属于立体组合几何学。

　　地毯问题，以及由此引出的有孔洞的球的问题都表明了这样一个基本道理：一个量看起来似乎是个变量，可在其它参数发生变化时，这个量却始终保持不变。不管球上的洞有多宽，也不管球的半径有多大，在球上挖个洞之后，剩余部分的体积总是不变的，这样的结论难道不令人瞠目？当数学家首次认识到这一事实的时候，他也应该为之惊讶，不过想来他会接着补上一句“太漂亮了！”

　　恐怕很少有人能确切地理解数学家称某事“漂亮”的真正含义――或许有较浓的发现问题意外简单的意味，不过所有的数学家在认识了一个“漂亮”的原理或者对一个原理的“漂亮”的证明之后，都会像我们认识了一位美人一样感到高兴。几何学因其具有直观性形象化的特点，每每出现一些漂亮的原理或漂亮的证明，在本章中你就可以看到一些精彩的例子。