巧分乳酪
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2004-12-02 18:46:19
罗西豁然开朗，悟到圆柱形乳酪是一个立体图形，可以在中线处横截一刀将其一切为二。如果允许移动切开的部分，那么连切三刀也行。可以把第一次切开的两块迭放在一起，切第二刀成四块，再把四块跌放在一起，最后一刀切成八块。罗西的解法是如此简单，几乎可以说是平凡的。然而它给人以明确的启示：对于有意义的切分问题，可以用有限差分演算进行研究并用数学归纳法加以证明。有限差分演算是发现数字序列普通项公式的有力工具。今天，数字序列日益引起人们的兴趣，因为它具有极其广泛的实际应用范围，还因为计算机能够以极快的速度执行序列的运算。
罗西第一次切乳酪的方法是在乳酪顶面的若干中线同时切数刀。乳酪具有如同薄饼那样平坦的顶面。让我们来观察一下，根据在一张薄饼上切数刀的过程，能够生成一些什么数字序列。假如沿着薄饼若干中线同时切数刀，显然，同时切 n 刀至多可以切出2n块。
若在其边沿为一条简单闭合曲线的任意平面上同时切下 n 刀，这种方法所切成的块数，是否最多也是 2n块呢？否。可以随意画出许多既非凸面，并且形状各异的平面，即使一刀也可切成你所希望的块数。能否画出一种图形，仅切一刀便可以切出任何有限数目的全等的块？若能办到，这种图形的周长应具有什么特性，才能确保只需要一刀便可以切成全等的 n 块？若不同时进行切分，薄饼的切分将更为有趣。你很快会发现：仅当 n〉=3 时，切 n 刀方可切成不止 2n 块。
这里，我们并不考虑所切成的块是否全等或面积相同。当 n=1，2，3，4。。。时，可以切成的最多块数分别是2，4，7，11。这一大家所熟悉的序列是根据下列公式求得的：
1+n（n+1）/2
其中，n 是所切的刀数。此序列的前10项（n 自0开始）是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46。。。
请注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。。。第二行差分是1，1，1，1，1，1，1，1，1，。。。
这强烈地暗示着此序列的普通项是一个二次项。
为什么说“强烈暗示”呢？因为虽然可以用有限差分演算找到一个公式，但是并不能保证该公式对于无限序列也成立。这一点尚需证明。在薄饼公式这一例子中，不难通过数学归纳法做出一个简单的证明。
从这点出发，你可以发现大量的引人入胜的研究方向，其中有许多将导致非同寻常的数字序列，公式以及数学归纳法证明。这里有一些问题可供你作为初步尝试。采用下列各种方法，最多可以切成几块？
1。在马蹄形的薄饼上切 n 刀。
2。在球形或罗西所切的那种圆柱形乳酪上切 n 刀。
3。用切小圆甜饼的刀在薄饼上切 n 刀。
4。在状如烛环状（即中心有一个圆孔）的薄饼上切 n 刀。
5。在油炸圈（圆环）上切 n 刀。
关于以上这些问题，假设切分是同时进行的，若改成连切方式，并且允许重新安排切开的部分，其答案如何变化？
