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第五讲  整数问题之一

转载www.jiajiao100.com 2004-04-18 18:25:00

  整数是最基本的数,它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中,有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外,还必须通过课外活动来补充一些整数的知识,以及解决问题的思路和方法。

  对于两位、三位或者更多位的整数,有时要用下面的方法来表示:

  49=4×10+9,

  235=2×100+3×10+5,

  7064=7×1000+6×10+4,

  …………………

  

  就是

  

一、整除

  整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b,商是整数且余数为0,我们就说a能被b整除,或b能整除a,或b整除a,记作b丨a.此时,b是a的一个因数(约数),a是b的倍数.

  1.整除的性质

  性质1 如果a和b都能被m整除,那么a+b,a-b也都能被m整除(这里设a>b).

  例如:3丨18,3丨12,那么3丨(18+12),3丨(18-12).

  性质2 如果a能被b整除,b能被c整除,那么a能被c整除。

  例如: 3丨6,6丨24,那么3丨24.

  性质3 如果a能同时被m、n整除,那么a也一定

  能被m和n的最小公倍数整除.

  例如:6丨36,9丨26,6和9的最小公倍数是18,18丨36.

  如果两个整数的最大公约数是1,那么它们称为互质的.

  例如:7与50是互质的,18与91是互质的.

  性质4 整数a,能分别被b和c整除,如果b与c互质,那么a能被b×c整除.

  例如:72能分别被3和4整除,由3与4互质,72

  能被3与4的乘积12整除.

  性质4中,“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除,但不能被乘积48整除,这就是因为6与8不互质,6与8的最大公约数是2.

  性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互

  质,它们的最小公倍数是b×c.事实上,根据性质4,我们常常运用如下解题思路:

  要使a被b×c整除,如果b与c互质,就可以分别考虑,a被b整除与a被c整除.

  能被2,3,4,5,8,9,11整除的数都是有特征的,我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.

  2.数的整除特征

  (1)能被2整除的数的特征:

  如果一个整数的个位数是偶数,那么它必能被2整除.

  (2)能被5整除的数的特征:

  如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除.

  (3)能被3(或9)整除的数的特征:

  如果一个整数的各位数字之和能被3(或9)整除,那么它必能被3(或9)整除.

  (4)能被4(或25)整除的数的特征:

  如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25)整除.

  (5)能被8(或125)整除的数的特征:

  如果一个整数的末三位数能被8(或125)整除,那么它必能被8(或125)整除.

  (6)能被11整除的数的特征:

  如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除.

  

  是什么数字?

  解:18=2×9,并且2与9互质,根据前面的性质4,可以分别考虑被2和9整除.

  要被2整除,b只能是0,2,4,6,8.

  再考虑被9整除,四个数字的和就要被9整除,已有7+4=11.

  如果 b=0,只有 a=7,此数是 7740;

  如果b=2,只有a=5,此数是7542;

  如果b=4,只有a=3,此数是 7344;

  如果 b=6,只有 a=1,此数是 7146;

  如果b=8,只有a=8,此数是7848.

  因此其中最小数是7146.

  根据不同的取值,分情况进行讨论,是解决整数问题常用办法,例1就是一个典型.

  例2 一本老账本上记着:72只桶,共□67.9□元,其中□处是被虫蛀掉的数字,请把这笔账补上.

  解:把□67.9□写成整数679,它应被72整除.72=9×8,9与8又互质.按照前面的性质4,只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征,79要被8整除,因此b=2.从6792能被9整除,按照被9整除特征,各位数字之和+24能被9整除,因此a=3.

  这笔帐是367.92元.

  例3 在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数(有些数字可以重复出现),使得能被组成它的每一个数字整除,并且组成的数要尽可能小.

  解:如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是5,这样就不能被偶数2,4,6整除,也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多,我们只能不选5,而选其他五个数字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,为了能整除3和6,所用的数字之和要能被3整除,只能再添上一个2,16+2=18能被3整除.为了尽可能小,又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是

  122364.

  例4 四位数7□4□能被55整除,求出所有这样的四位数.

  解:55=5×11,5与11互质,可以分别考虑被5与11整除.

  要被5整除,个位数只能是0或5.

  再考虑被11整除.

  (7+4)-(百位数字+0)要能被11整除,百位数字只能是0,所得四位数是7040.

  (7+4)-(百位数字+5)要能被11整除,百位数字只能是6(零能被所有不等于零的整数整除),所得四位数是7645.

  满足条件的四位数只有两个:7040,7645.

  例5 一个七位数的各位数字互不相同,并且它能被11整除,这样的数中,最大的是哪一个?

  

  ,要使它被11整除,要满足

  (9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)

  能被11整除,也就是7+b-a要能被11整除,但是a与b只能是0,1,2,3,4中的两个数,只有b=4,a=0,满足条件的最大七位数是9876504.

  再介绍另一种解法.

  先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11(参见下页除式).

  要满足题目的条件,这个数是9876543减6,或者再减去11的倍数中的一个数,使最后两位数字是0,1,2,3,4中的两个数字.

  43-6=37,37-11=26,26-11=15,15-11=4,因此这个数是9876504.

  思考题:如果要求满足条件的数最小,应如何去求,是哪一个数呢?

  (答:1023495)

  例6 某个七位数1993□□□能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除,那么它的最后三个数字组成的三位数是多少?

  与上例题一样,有两种解法.

  解一:从整除特征考虑.

  这个七位数的最后一位数字显然是0.

  另外,只要再分别考虑它能被9,8,7整除.

  1+9+9+3=22,要被9整除,十位与百位的数字和是5或14,要被8整除,最后三位组成的三位数要能被8整除,因此只可能是下面三个数:

  1993500,1993320,1993680,

  其中只有199320能被7整除,因此所求的三位数是320.

  解二:直接用除式来考虑.

  2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数是2520,这个七位数要被2520整除.

  现在用1993000被2520来除,具体的除式如下:

  因为 2520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.

  例7 下面这个41位数

  能被7整除,中间方格代表的数字是几?

  解:因为 111111=3×7×11×13×37,所以

  555555=5×111111和999999=9×111111

  都能被7整除.这样,18个5和18个9分别组成的18位数,也都能被7整除.

  

  右边的三个加数中,前、后两个数都能被7整除,那么只要中间的55□99能被7整除,原数就能被7整除.

  把55□99拆成两个数的和:

  55A00+B99,

  其中□=A+B.

  因为7丨55300,7丨399,所以□=3+3=6.

  注意,记住111111能被7整除是很有用的.

  例8 甲、乙两人进行下面的游戏.

  两人先约定一个整数N.然后,由甲开始,轮流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字之一填入下面任一个方格中

  每一方格只填一个数字,六个方格都填上数字(数字可重复)后,就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除,就算乙胜;如果这个六位数不能被N整除,就算甲胜.

  如果N小于15,当N取哪几个数时,乙能取胜?

  解:N取偶数,甲可以在最右边方格里填一个奇数(六位数的个位),就使六位数不能被N整除,乙不能获胜.N=5,甲可以在六位数的个位,填一个不是0或5的数,甲就获胜.

  上面已经列出乙不能获胜的N的取值.

  如果N=1,很明显乙必获胜.

  如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时,总是能把六个数字之和,凑成3的整数倍或9的整数倍.因此,乙必能获胜.

  考虑N=7,11,13是本题最困难的情况.注意到1001=7×11×13,乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子,把第一与第四,第二与第五,第三与第六配对,甲在一对格子的一格上填某一个数字后,乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字,这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2,这个六位数,能被7,11或13整除,乙就能获胜.

  综合起来,使乙能获胜的N是1,3,7,9,11,13.

  记住,1001=7×11×13,在数学竞赛或者做智力测验题时,常常是有用的.

二、分解质因数

  一个整数,它的约数只有1和它本身,就称为质数(也叫素数).例如,2,5,7,101,….一个整数除1和它本身外,还有其他约数,就称为合数.例如,4,12,99,501,….1不是质数,也不是合数.也可以换一种说法,恰好只有两个约数的整数是质数,至少有3个约数的整数是合数,1只有一个约数,也就是它本身.

  质数中只有一个偶数,就是2,其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数,例如,15,33,….

  例9 ○+(□+△)=209.

  在○、□、△中各填一个质数,使上面算式成立.

  解:209可以写成两个质数的乘积,即

  209=11×19.

  不论○中填11或19,□+△一定是奇数,那么□与△是一个奇数一个偶数,偶质数只有2,不妨假定△内填2.当○填19,□要填9,9不是质数,因此○填11,而□填17.

  这个算式是 11×(17+2)=209,

  11×(2+17)= 209.

  解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积,特别是一些质数的乘积,是解决整数问题的一种常用方法,这也是这一节所讲述的主要内容.

  一个整数的因数中,为质数的因数叫做这个整数的质因数,例如,2,3,7,都是42的质因数,6,14也是42的因数,但不是质因数.

  任何一个合数,如果不考虑因数的顺序,都可以唯一地表示成质因数乘积的形式,例如

  360=2×2×2×3×3×5.

  还可以写成360=23×32×5.

  这里23表示3个2相乘,32表示2个3相乘.在23中,3称为2的指数,读作2的3次方,在32中,2称为3的指数,读作3的2次方.

  例10 有四个学生,他们的年龄恰好是一个比一个大1岁,而他们的年龄的乘积是5040,那么,他们的年龄各是多少?

  解:我们先把5040分解质因数

  5040=24×32×5×7.

  再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积:

  24×32×5×7=7×8×9×10.

  所以,这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.

  利用合数的质因数分解式,不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻求一般方法,先看一个简单的例子.

  我们知道24的约数有8个:1,2,3,4,6,8,12,24.对于较大的数,如果一个一个地去找它的约数,将是很麻烦的事.

  因为24=23×3,所以24的约数是23的约数(1,2,22,23)与3的约数(1,3)之间的两两乘积.

  1×1,1×3,2×1,2×3,22×1,22×3,23×1,23×3.

  这里有4×2=8个,即 (3+1)×(1+1)个,即对于24=23×3中的23,有(3+1)种选择:1,2,22,23,对于3有(1+1)种选择.因此共有(3+1)×(1+1)种选择.

  这个方法,可以运用到一般情形,例如,

  144=24×32.

  因此144的约数个数是(4+1)×(2+1)=15(个).

  例11 在100至150之间,找出约数个数是8的所有整数.

  解:有8=7+1; 8=(3+1)×(1+1)两种情况.

  (1)27=128,符合要求,

  37>150,所以不再有其他7次方的数符合要求.

  (2)23=8,

  8×13=104, 8×17=136,符合要求.

  33=27;

  只有27×5=135符合要求.

  53=135,它乘以任何质数都大于150,因此共有4个数合要求:128,104,135,136.

  利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解,例如

  720=24×32×5,168=23×3×7.

  那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数,上面两个整数都含有质因数2,较低指数次方是23,类似地都含有3,因此720与168的最大公约数是

  23×3= 24.

  在求最小公倍数时,很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5,而168中无5,可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是

  24×32×5×7=5040.

  例12 两个数的最小公倍数是180,最大公约数是30,已知其中一个数是90,另一个数是多少?

  解:180=22×32×5,

  30=2×3×5.

  对同一质因数来说,最小公倍数是在两数中取次数较高的,而最大公约数是在两数中取次数较低的,从22与2就知道,一数中含22,另一数中含2;从32与3就知道,一数中含32,另一数中含3,从一数是

  90=2×32×5.

  就知道另一数是

  22×3×5=60.

  还有一种解法:

  另一数一定是最大公约数30的整数倍,也就是在下面这些数中去找

  30, 60, 90, 120,….

  这就需要逐一检验,与90的最小公倍数是否是180,最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验,有时会较费力.

  例13 有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列,那么第三个分数是多少?

  解:把420分解质因数

  420=2×2×3×5×7.

  为了保证分子、分母不能约分(否则约分后,分子与分母的乘积不再是420了),相同质因数(上面分解中的2),要么都在分子,要么都在分母,并且分子应小于分母.分子从小到大排列是

  1,3,4,5,7,12,15,20.

  分子再大就要超过分母了,它们相应的分数是

  

  

  两个整数,如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.

  例13实质上是把420分解成两个互质的整数.

  利用质因数分解,把一个整数分解成若干个整数的乘积,是非常基本又是很有用的方法,再举三个例题.

  例14 将8个数6,24,45,65,77,78,105,110分成两组,每组4个数,并且每组4个数的乘积相等,请写出一种分组.

  解:要想每组4个数的乘积相等,就要让每组的质因数一样,并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.

  6=2×3, 24=23×3,

  45=32×5, 65=5×13,

  77=7×11, 78=2×3×13,

  105=3×5×7, 110=2×5×11.

  先放指数最高的质因数,把24放在第一组,为了使第二组里也有三个2的因子,必须把6,78,110放在第二组中,为了平衡质因数11和13,必须把77和65放在第一组中.看质因数7,105应放在第二组中,45放在第一组中,得到

  第一组:24,65,77,45.

  第二组:6,78,110,105.

  在讲述下一例题之前,先介绍一个数学名词--完全平方数.

  一个整数,可以分解成相同的两个整数的乘积,就称为完全平方数.

  例如:4=2×2, 9=3×3, 144=12×12, 625=25×25.4,9,144,625都是完全平方数.

  一个完全平方数写出质因数分解后,每一个质因数的次数,一定是偶数.

  例如:144=32×42, 100=22×52,…

  例15 甲数有9个约数,乙数有10个约数,甲、乙两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分别是多少?

  解:一个整数被它的约数除后,所得的商也是它的约数,这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时,也就是这个数是完全平方数时,它的约数的个数才会是奇数.因此,甲数是一个完全平方数.

  2800=24×52×7.

  在它含有的约数中是完全平方数,只有

  1,22,24,52,22×52,24×52.

  在这6个数中只有22×52=100,它的约数是(2+1)×(2+1)=9(个).

  2800是甲、乙两数的最小公倍数,上面已算出甲数是100=22×52,因此乙数至少要含有24和7,而24×7=112恰好有(4+1)×(1+1)=10(个)约数,从而乙数就是112.

  综合起来,甲数是100,乙数是112.

  例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元,并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种),可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完,问红笔、蓝笔每支各多少元?

  解:35=5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元(否则能把35元恰好用完),也不能是17-5=12(元)和17-7=10(元),否则另一种笔1支是5元或7元.

  记住:对笔价来说,已排除了5,7,10,12这四个数.

  笔价不能是35-17=18(元)的约数.如果笔价是18的约数,就能把18元恰好都买成笔,再把17元买两种笔各一支,这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数:1,2,3,6,9.

  当然也不能是17-1=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11, 17-9=8.现在笔价又排除了:

  1,2,3,6,8,9,11,14,15,16.

  综合两次排除,只有4与13未被排除,而4+13=17,就知道红笔每支 13元,蓝笔每支 4元.

三、余数

  在整数除法运算中,除了前面说过的“能整除”情形外,更多的是不能整除的情形,例如 95÷3, 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是:

  65÷3=21…… 2, 38÷5=7…… 3.

  上面两个算式中2和3就是余数,写成文字是

  被除数÷除数=商……余数.

  上面两个算式可以写成

  65=3×21+2, 38=5×7+3.

  也就是

被除数=除数×商+余数.

  通常把这一算式称为带余除式,它使我们容易从“余数”出发去考虑问题,这正是某些整数问题所需要的.

  特别要提请注意:在带余除式中,余数总是比除数小,这一事实,解题时常作为依据.

  例17 5397被一个质数除,所得余数是15.求这个质数.

  解:这个质数能整除

  5397-15=5382,

  而 5382=2×31997×13×23.

  因为除数要比余数15大,除数又是质数,所以它只能是23.

  当被除数较大时,求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍,从而得到余数.

  例18 求645763除以7的余数.

  解:可以先去掉7的倍数630000余15763,再去掉14000还余下 1763,再去掉1400余下363,再去掉350余13,最后得出余数是6.这个过程可简单地记成

  645763→15763→1763→363→13→6.

  如果你演算能力强,上面过程可以更简单地写成:

  645763→15000→1000→6.

  带余除法可以得出下面很有用的结论:

  如果两个数被同一个除数除余数相同,那么这两个数之差就能被那个除数整除.

  例19 有一个大于1的整数,它除967,1000,2001得到相同的余数,那么这个整数是多少?

  解:由上面的结论,所求整数应能整除 967,1000,2001的两两之差,即

  1000-967=33=3×11,

  2001-1000=1001=7×11×13,

  2001-967=1034=2×11×47.

  这个整数是这三个差的公约数11.

  请注意,我们不必求出三个差,只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.

  例如,求出差1000-967与2001-1000,

  那么差

  2001-967=(2001-1000)+(1000-967)

  =1001+33

  =1034.

  从带余除式,还可以得出下面结论:

  甲、乙两数,如果被同一除数来除,得到两个余数,那么甲、乙两数之和被这个除数除,它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.

  例如,57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除,余数是5+9=14被13除的余数1.

  例20 有一串数排成一行,其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起,每个数恰好是前面两个数的和,问这串数中,第1998个数被3除的余数是多少?

  解:我们可以按照题目的条件把这串数写出来,再看每一个数被3除的余数有什么规律,但这样做太麻烦.根据上面说到的结论,可以采取下面的做法,从第三个数起,把前两个数被3除所得的余数相加,然后除以3,就得到这个数被3除的余数,这样就很容易算出前十个数被3除的余数,列表如下:

  从表中可以看出,第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数,每八个循环一次,因为

  1998= 8×249+ 6,

  所以,第1998个数被3除的余数,应与第六个数被3除的余数一样,也就是2.

  一些有规律的数,常常会循环地出现.我们的计算方法,就是循环制.计算钟点是

  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

  这十二个数构成一个循环.

  按照七天一轮计算天数是

  日,一,二,三,四,五,六.

  这也是一个循环,相当于一些连续自然数被7除的余数

  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

  的循环.用循环制计算时间:钟表、星期、月、四季,说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.

  循环现象,我们还称作具有“周期性”,12个数的循环,就说周期是12,7个数的循环,就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环,发现周期性和确定周期,是很有趣的事.

  下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前,再讲一个从带余除式得出的结论:

  甲、乙两数被同一除数来除,得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除,它的余数就是两个余数的积,被这个除数除所得的余数.

  例如,37被11除余4,27被11除余5,37×27=999被 11除的余数是 4×5=20被 11除后的余数 9.

  1997=7×285+2,就知道1997×1997被7除的余数是2×2=4.

  例 21 191997被7除余几?

  解:从上面的结论知道,191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘,被7除的余数.

  先写出一列数

  2,2×2=4,2×2×2 =8,

  2×2×2×2=16,….

  然后逐个用7去除,列一张表,看看有什么规律.列表如下:

  事实上,只要用前一个数被7除的余数,乘以2,再被7除,就可以得到后一个数被7除的余数.(为什么?请想一想.)

  从表中可以看出,第四个数与第一个数的余数相同,都是2.根据上面对余数的计算,就知道,第五个数与第二个数余数相同,……因此,余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.

  1997= 3× 665 + 2.

  就知道21997被7除的余数,与21997 被 7除的余数相同,这个余数是4.

  再看一个稍复杂的例子.

  例22 70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的:

  0,1,3,8,21,55,….

  问:最右边一个数(第70个数)被6除余几?

  解:首先要注意到,从第三个数起,每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数:

  3=1×3-0,

  8=3×3-1,

  21=8×3-3,

  55=21×3-8,

  ……

  不过,真的要一个一个地算下去,然后逐个被6去除,那就太麻烦了.能否从前面的余数,算出后面的余数呢?能!同算出这一行数的办法一样(为什么?),从第三个数起,余数的计算办法如下:

  将前一个数的余数乘3,减去再前一个数的余数,然后被6除,所得余数即是.

  用这个办法,可以逐个算出余数,列表如下:

  注意,在算第八个数的余数时,要出现0×3-1这在小学数学范围不允许,因为我们求被6除的余数,所以我们可以 0×3加6再来减 1.

  从表中可以看出,第十三、第十四个数的余数,与第一、第二个数的余数对应相同,就知道余数的循环周期是12.

  70 =12×5+10.

  因此,第七十个数被6除的余数,与第十个数的余数相同,也就是4.

  在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:

  “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说:

  一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.

  这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题,但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里,我们通过两个例题,对较小的数,介绍一种通俗解法.

  例23 有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?

  解:除以3余2的数有:

  2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23….

  它们除以12的余数是:

  2,5,8,11,2,5,8,11,….

  除以4余1的数有:

  1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….

  它们除以12的余数是:

  1, 5, 9, 1, 5, 9,….

  一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5.

  上面解法中,我们逐个列出被3除余2的整数,又逐个列出被4除余1的整数,然后逐个考虑被12除的余数,找出两者共同的余数,就是被12除的余数.这样的列举的办法,在考虑的数不大时,是很有用的,也是同学们最容易接受的.

  如果我们把例23的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是

  5+ 12×整数,

  整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.

  例24 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.

  解:先列出除以3余2的数:

  2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,

  再列出除以5余3的数:

  3, 8, 13, 18, 23, 28,….

  这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是

  8+15×整数,

  列出这一串数是

  8, 23, 38,…,

  再列出除以7余2的数

  2, 9, 16, 23, 30,…,

  就得出符合题目条件的最小数是23.

  事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23.

  最后再看一个例子.

  例25 在100至200之间,有三个连续的自然数,其中最小的能被3整除,中间的能被5整除,最大的能被7整除,写出这样的三个连续自然数.

  解:先找出两个连续自然数,第一个能被3整除,第二个能被5整除(又是被3除余1).例如,找出9和10,下一个连续的自然数是11.

  3和5的最小公倍数是15,考虑11加15的整数倍,使加得的数能被7整除.11+15×3=56能被7整除,那么54,55,56这三个连续自然数,依次分别能被3,5,7整除.

  为了满足“在100至200之间”将54,55,56分别加上3,5,7的最小公倍数105.所求三数是

  159, 160, 161.

  注意,本题实际上是:求一个数(100~200之间),它被3整除,被5除余4,被7除余5.请考虑,本题解法与例24解法有哪些相同之处?

 

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