名师解析希望杯计算问题

重庆奥数网整理 2012-03-02 15:58:02

　　突破希望杯计算问题一直是同学们的老大难，好的计算习惯，方法，技巧对于我们的解题会有事半功倍的效果。咱们知道不管是中考还是将来的高考考的都是我们的综合素养和综合能力，而这其中的计算问题就是关键中的关键。因为答题时间只有2个小时。

　　也就是说我们要将几年内所学的知识进行筛选，归类，整合用最短的时间将客观题（即选择题和填空题）做完，然后才能有充裕的时间去完成主观题。否则很难在规定的时间内做完所有的考题，更不用说得高分了。因此，要求我们学生在平时一定要注意口算，心算和笔算的锻炼和积累。更重要的是要对一些计算的方法和技巧进行归纳和总结。这样才能在考试中从容自如，立于不败之地。

　　如第十七届“希望杯”第2试中的第11题：

　　这个计算题看似简单，如果我们按照常规的思维来进行计算至少需要七，八分钟的时间，而且是对于计算能力特别强的同学来说的。我们姑且不论算得正确与否，就是这样算下去后面的题肯定是没时间做了。那么这题应该怎样计算才能更快更准确的得出答案呢？我们看题会发现一些规律奇数项的整数部分是1，3，5，7，9。而分数的分子都是1，分母是2，12，30，56，90。且可以把2写成2=1×2，12=3×4，30=5×6，56=7×8，90=9×10。偶数项的分子都比分母少一，因而我们可以把它们全部改写成1／6-3，1／20-5，1／42-7，

　　1／72-9。这样不仅可以将整数部分抵消一部分同时也可以将6分成2×3，20=4×5，42=6×7，72=8×9。与奇数项结合起来问题就简单的多了。

　　总结：本题其实用到了我们小学奥数思维中的“裂项求和”的方法。这种方法使用的关键是在我们要能够观察出分母的特点。如我们常见的形式1/n×（n+1），1/（2n+1） ×（2n-1）等等都可以使用这种方法

　　再看第15题

　　先看分母是1到2006的所有正整数的和。这我们可以利用“高斯求和”的方法：（1+2006）×2006÷2=2007×1003.而分母可以先直接算出差，这时会发现前面分数的分子可以与后面分数的分母正好约掉

　　1003/1004×1004/1005×1005/1006×1006/1007…2004/2005×2005/2006,很快就可以得出分母的结果是1003/2006.再用分子2007×1003除以分母1003/2006就可以得到最终结果

　　关于计算的技巧和方法还有很多这里我就不在多说了，希望同学们在今后的学习中注意总结和归纳，以便在计算中能够灵活运用

　　面积计算问题

　　对于求图形的面积我们在小学阶段老师可能讲了很多，但是由于大部分同学没有很好进行总结和归纳，因而在遇到此类问题时还是无计可施

　　如第十七届“希望杯”第9题

　　9.如图4，ABCD与BEFG是并列放在一起的两个正方形。O是BF与EG的交点。如果正方形ABCD的面积是9平方厘米，厘米，则三角形DEO的面积是（）

　　（A）6.25平方厘米（B）5.75平方厘米（C）4.50平方厘米（D）3.75平方厘米

　　在讲此题之前我们先看下面的面积模型

　　如下图，当我们连接DF时，会发现△AEF和△DEF的高相同，所以SAEF/SDEF=AE/DE. 同理可得S△AEB/S△DEB=AE/DE.故S△AEF/S△DEF=S△AEB/S△DEB.变形得： S△AEF× S△DEB = S△DEF×S△AEB. 根据这个条件我们可以得到，只要知道其中的三个面积就可以求出另外的一个三角行的面积。当然此题中的F点要是再向C点移动时，我们会看到一种特殊的位置，那就是DF//AB. 即这时四边行ABDF就是梯形。我们看到△ADF和△BDF是等底等高的三角行，则SAEF= SDEB.于是上面的关系式就变为： SAEF的平方= SDEB的平方= SDEF×SAEB.只要是关于四边行面积的问题我们都可以用这个结论来解决。

　　现在我们再回头看看上面的第9题。由图可知，要求的是三角行的面积，如果直接求是不可能的。那么我们可以利用刚讲的模型。首先是要建立四边形，在图中的四边形有很多，但我们要用与三角行DOE有关的。我们发现只要将正方形ABCD的对角线BD连接起来就可以和正方形BEFG的对角线GE平行。于是S△DOE= S△BOE.这样问题就转化为求△BOE的面积即选

　　同样对第十七届“希望杯‘' 第2试的第22题也是应用此模型解答。

　　如图4所示，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点。连结AO，并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F.求四边形BDOF的面积。