备战2013小升初：数学知识点之数字谜综合

奥数网 2012-10-19 10:42:18

　　成都奥数网10月19日 为帮助更多2013成都小升初的同学们顺利升学，成都奥数网整理了小升初数学必考知识点，适合六年级同学小升初复习之用，低年级也可以提前学习一下。

　　数字谜综合

　　内容概述

　　各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题。

　　典型问题

　　1.ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字。已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少？

　　【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小。

　　A显然只能为1，则BCD+EFG=993，

　　当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积；

　　当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积；

　　它们的差为1234×759-1759×234=（1000+234）×759一（1000+759）×234=1000×（759-234）=525000.

　　2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1.其中的5个是1/3,1/7,1/9,1/11,1/33 另外4个数的分母个位数字都是5.请写出这4个分数。

　　【分析与解】

　　需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数。因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693.

　　经试验得693+231+77+9=1010.

　　4.小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数○1=

　　对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14-1的表中。有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正。问改正后的两个数的和是多少？

　　5.图14-3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形。现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上。

　　（1）能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由。

　　（2）能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。

　　【分析与解】（1）无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等。

　　事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k.

　　在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次。

　　因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：

　　8k=（1+2+3+4）+3×（1+2+3+4）+2×（1+2+3+4），即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的。

　　（2）易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11.

　　而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一。图（a）和图（b）是两种填法。

　　6.图14-5中有11条直线。请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等。求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数。

　　【分析与解】表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=（1+2+3+…+11）+a=66+a；

　　在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=（1+2+3+…11）+4a＝66+4a.

　　综合以上两式，

　　①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18.

　　考虑到含有*的五条线，有4*+（1+2+3+4+…+11）-t=5S=90.即4*-t=24，由t是1～11间的数且t≠*，可知*=7，而每行相等的和S为18.

　　表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x，

　　首先考虑以下四条直线：（h、f、a），（i、g、a），（x、d、b），（j、e、c），除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有：

　　（1＋11）×11÷2+a=4S，即66+a=4S.

　　再考虑以下五条直线：（h、f、a），（i、g、a），（j、x、a），（e、d、a），（c、b、a），同理我们可得到66+4a=5S.

　　综合两个等式，可得a为6，每条直线上和S为18.

　　最后考虑含x的五条直线：（x、h），（x、g、f），（j、x、a），（x、d、b），（i、x、c）。其中除了x出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：

　　66+4x－e=5S=90，即4x-e=24，由e是1-11间的数且e≠x可知x=7.

　　即每行相等的和S为18，*所填的数为7.