第18届华杯赛每周一练试题及答案第十八期
北京奥数网：第18届华杯赛初赛于2013年3月份举行，华杯赛官网发布每周一练试题，小编给大家进行了汇总。
华杯赛每周一练试题及答案第十八期
试题一
有若干个非零自然数，它们的平均数为11.如果去掉一个最大的自然数，那么它们的平均数为10；如果去掉一个最小的自然数，那么它们的平均数为12.请问：这些自然数最多有多少个？此时其中最大的自然数是多少？
解析：设共有n个数，则n个数的总和为11n。
去掉最大的自然数，剩下数的总和为10×（n-1）；
去掉最小的自然数，剩下数的总和为12×（n-1）。
于是有最小的自然数为11n-12×（n-1）＝12-n，而非零自然数最小为1，所以n最大为11，此时最大的自然数为11n-10×（n-1）＝n＋10＝11＋10＝21。
即这些自然数最多有11个，此时其中最大的自然数为21。
试题二：
一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？
解析：显然相同的路程，逆水所需时间多于顺水所需的时间，则开始取乙地逆水所需的时间多于1小时，即第二小时部分时间是在逆水的。
但是第二小时顺水的时间为6÷8＝0.75小时，
那么逆流行驶的时间是2--0.75＝1.25小时。
则顺流的速度是逆流速度的1.25÷0.75＝倍，
则逆流速度为8÷（-1）×1＝12千米/小时。
则甲乙两地的路程为12×1.25＝15千米。
试题三：
按照下图给出的各数字的奇偶性补全这个除法竖式。
解析：注意到除数乘商的百位数字所得的积对应为“偶奇偶”，而除数的个位为6，商的个位是6，商的百位是一个奇数。
首先商的百位不为1，只能从3、5、7、9中取值，而它们乘6都会有进位。又因为商的百位数字和除数的十位数字都是奇数，它们的乘积仍是奇数，而商的百位与除数的积的十位数字也是奇数。所以商的百位乘6以后所进的数一定是偶数。而只有6×7＝42，正好进位偶数4，因此商的百位是7。
因为商的百位数字乘除数仍是三位数，因此除数的首位一定是1；
而它们的积的首位是偶数，所以只能是8，再进一步就可以很容易地得出除数的十位数字为1，于是除数为116。
再确定商的十位数字，它乘上116之后是“奇偶偶”的情形，且它是一个奇数，那么只可能是3或者5，116×3＝348，116×5＝580。
如果商的十位数字是5，那么“奇奇奇”减580所得的差不可能是“偶奇”的形式，因此商的十位数字是3。
最后看商的个位，是个偶数，乘116之后积是“偶奇偶”的形式。这只可能是2或6。
116×2＝232，116×6＝696。
再联系商的十位数字，116×3＝348，若商的个位为6，则应该有：348加上69以后所得三位数是“奇奇奇”的形式，而348＋69＝417不是“奇奇奇”的形式，所以商的个位是2。
因此，商是732，除数是116，被除数是732×116＝84912。
有完整的竖式如下：
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